가우스 법칙은 적분 형태로 주어졌을 때, 대칭성에 따라 전기장이 균일한 닫힌 표면을 찾을 수 있는 경우에 특히 유용된다. 전기 선속 은 그 표면적과 전기장의 세기의 곱으로 표현되며, 해당 표면에 포함된 총 전하에 비례한다. 여기서는 충전된 구체의 외부(r > R )와 내부(r < R )의 전기장을 계산한다. 내부에 전하가 있는 구에 대한 가우스 법칙 가우스 법칙 (Gauss's law )은 폐곡면 을 통과하는 전기 선속 이 폐곡면 속의 알짜 전하량과 동일하다는 법칙이다. 맥스웰 방정식 가운데 하나다.
가우스 법칙은 미분 형태와 적분 형태가 있다. 두 형태는 발산 정리 에 대등하다.
가우스 법칙의 적분 형태는 다음과 같다.
Φ
=
∮
A
D
⋅
d
A
=
Q
0
{\displaystyle \Phi =\oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =Q_{0}}
여기서
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
변위장 (전속밀도),
d
A
{\displaystyle d\mathbf {A} }
A 위의 미소 면적을 나타내는 벡터 (그 지점의 접평면에서 바깥쪽을 향하는 법선 벡터),
Q
0
{\displaystyle Q_{0}}
∮
A
{\displaystyle \oint _{A}}
A 전체에 대한 면적분이다.
가우스 법칙의 미분 형태는 다음과 같다.
∇
⋅
D
=
ρ
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{0}}
여기서
∇
⋅
{\displaystyle \nabla \cdot }
발산 연산자,
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
변위장 (전속밀도),
ρ
0
{\displaystyle \rho _{0}}
위 공식은 자유 전하에 대한 가우스 법칙이다. 즉,
Q
0
{\displaystyle Q_{0}}
ρ
0
{\displaystyle \rho _{0}}
Φ
=
∮
A
E
⋅
d
A
=
Q
/
ϵ
0
{\displaystyle \Phi =\oint _{A}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =Q/\epsilon _{0}}
∇
⋅
E
=
ρ
/
ϵ
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}
여기서
Q
{\displaystyle Q}
ρ
{\displaystyle \rho }
E
=
D
/
ϵ
{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {D} /\epsilon }
전기장 이다.
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
유전율 로, 기본 상수다.
E
=
σ
ϵ
0
{\displaystyle E={\sigma \over \epsilon _{0}}}
전하 량이다.)
E
=
λ
2
π
ϵ
0
r
{\displaystyle E={\lambda \over 2\pi \epsilon _{0}r}}
E
=
σ
2
ϵ
0
{\displaystyle E={\sigma \over 2\epsilon _{0}}}
E
=
1
4
π
ϵ
0
q
r
2
{\displaystyle E={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{q \over r^{2}}}
E
=
0
{\displaystyle E=0}
E
=
(
q
4
π
ϵ
0
R
3
)
r
{\displaystyle E=({q \over 4\pi \epsilon _{0}R^{3}})r}
카를 프리드리히 가우스 가 1835년에 발견하고, 1867년에 발표하였다.[1]
↑ Bellone, Enrico (1980). 《A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution》. MIT Press. ISBN 0262520818
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