크리스토펠 기호

크리스토펠 기호(Christoffel記號, 독일어: Christoffelsymbole, 영어: Christoffel symbol)는 레비치비타 접속의 성분을 나타내는 기호다. 레비치비타 접속으로 정의된 공변 미분과 주어진 좌표에 대한 편미분의 차로 생각할 수 있다. 기호는 그리스 대문자 감마(Γ)다. 간혹 제1종 및 제2종 크리스토펠 기호를 구분하기도 한다. 이름과는 달리, 제2종이 더 근본적인 개념이다.

정의

리만 다양체 $(M,g)$를 생각하자. 그렇다면, $\nabla g=0$이고 꼬임이 없는 유일한 접속 $\nabla$가 존재한다. 이를 레비치비타 접속(Levi-Civita connexion)이라고 부른다. 이 때, 주어진 국소좌표계에서, (제2종) 크리스토펠 기호 $\Gamma^j_{ik}$는 다음과 같다. 임의의 벡터장 $X^i$에 대하여,

$(\nabla X)_i^j=\partial_iX^j+\Gamma^j_{ik}X^k$.

크리스토펠 기호는 계량 텐서의 편미분으로 직접적으로 나타낼 수 있는데, 다음과 같다.

$\Gamma^i_{k\ell}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right)$.

간혹 제1종 크리스토펠 기호 $\Gamma_{ijk}$를, 제2종 크리스토펠 기호에서 모든 지표(index)를 내린 것으로 정의하기도 한다.

$\Gamma_{\gamma \, \alpha \beta} = g_{\gamma \delta} \Gamma^{\delta}_{\alpha \beta} =\frac12(g_{\gamma \alpha, \beta} + g_{\beta \gamma, \alpha} - g_{\alpha \beta, \gamma})$.

역사

독일의 엘빈 브루노 크리스토펠(Elwin Bruno Christoffel)이 1869년에 도입하였다.