비틀림 (미분기하학)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
비틀림의 예

미분기하학에서 비틀림(torsion)은 곡선을 중심으로 움직이는 틀이 ‘비틀리는’ 현상을 말한다. 비틀어진 정도를 열률(捩率)이라고도 한다. 프레네-세레 공식에서 볼 수 있듯이 곡선은 비틀림으로 인해 자신의 접벡터에 대해 회전하게 된다. 곡면기하학에서 ‘측지선 비틀림’은 곡면이 그 위의 곡선에 대해 회전하는 것을 말한다. 이와 짝을 이루는 개념인 곡률은 움직이는 틀이 곡선을 따라 어떻게 ‘구르는지’를 나타낸다.

곡선의 비틀림[편집]

R3의 곡선 r(t)의 비틀림은 다음과 같이 정의한다:

\tau  = {{\det \left( {r',r'',r'''} \right)} \over {\left\| {r' \times r''} \right\|^2}} = {{\left( {r' \times r''} \right)\cdot r'''} \over {\left\| {r' \times r''} \right\|^2}}.

여기에서 프라임 기호(\prime)는 t에 대한 미분을 나타낸다. (예를 들어 r'은 r의 t에 대한 미분이다.) 분모의 외적이 0일 경우 비틀림도 0인 것으로 정의한다.

r(t) = (x(t), y(t), z(t))로 매개화된 경우, 그 비틀림은 다음과 같다:

\tau = \frac{z'''(x'y''-y'x'') + z''(x'''y'-x'y''') + z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^2+y'^2+z'^2)(x''^2+y''^2+z''^2)}.

곡선의 비틀림이 모든 점에서 0일 필요충분조건은 그 곡선을 포함하는 평면이 존재하는 것이다. 우향 나선의 비틀림은 양수이며, 좌향 나선의 비틀림은 음수이다.

함께 보기[편집]