반 더 시터르 공간

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반 더 시터르 공간(反 de Sitter 空間, 영어: anti–de Sitter space, 기호 AdS)은 최대 대칭적(maximally symmetric)이고, 음의 스칼라 곡률을 갖는 로런츠 다양체다. 쌍곡공간을 임의의 부호수에 대하여 일반화한 것이다. (더 시터르 공간은 최대대칭적이고 양의 스칼라 곡률을 갖는 다양체다.) 빌럼 더 시터르의 이름을 땄다.

반 더 시터르 공간은 음의 우주상수를 가지는 일반 상대성 이론의 진공해를 이루며, 또 끈 이론에서 AdS/CFT 대응성에 중요한 역할을 한다.

정의[편집]

부호수(p,q)인 반 더 시터르 공간은 부호수가 (p,q+1)민코프스키 공간에 국소적 등거리 묻기가 가능하다. (p,q+1)-민코프스키 공간의 계량 형식

ds^2 = \sum_{i=1}^p dx_i^2 - \sum_{j=1}^{q+1} dt_j^2

이다. 이 때, 반 더 시터르 공간은 다음 식을 만족하는 부분공간으로 정의할 수 있다.

\sum_{i=1}^p x_i^2 - \sum_{j=1}^{q+1} t_j^2 = -\alpha^2

여기서 \alpha>0는 양의 실수로, 반 더 시터르 반지름(영어: anti-de Sitter radius)이라고 불린다. 즉, 반 더 시터르 공간은 민코프스키 공간에서의 이다. 이 때, q=0이면 이는 일반적인 쌍곡공간이 된다.

q\ge1인 경우, 이 등거리묻기를 전역적으로 생각하여 정의한 부분공간은 시간꼴 폐곡선을 지닌다. q=1인 경우, 이는 전피복공간을 취하여 시간꼴 폐곡선을 없앨 수 있다. (q>1인 경우는 그렇지 않다.) 시간꼴 폐곡선은 물리학적으로 역설적이므로, 일반적으로 물리학에서 "반더 시터르 공간"이라면 전피복공간을 취한 경우를 일컫는다.

반 더 시터르 공간은 전피복공간을 취하지 않은 경우 등거리변환군이 O(p,q+1)이다. 전피복공간을 취하였다면, 등거리변환군은 O(p,q+1)의 어떤 피복군이 된다.

성질[편집]

d차원 (로런츠 계량 부호수) 반 더 시터르 공간의 리만 곡률은 다음과 같다. (-++\dotsb + 부호수를 사용한다.)

R_{\mu\nu\rho\sigma}=\alpha^{-2}(g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}-g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma})

따라서 리치 곡률스칼라 곡률은 다음과 같다.

R_{\mu\nu}=-(d-1)\alpha^{-2}g_{\mu\nu}
R=-d(d-1)\alpha^{-2}.

이로부터 반 더 시터르 공간은 우주 상수

\Lambda=-\frac12(d-1)(d-2)\alpha^{-2}

아인슈타인 방정식의 해임을 알 수 있다.

등각 경계[편집]

반 더 시터르 공간은 시간꼴(timelike) 등각 경계(영어: conformal boundary)를 가진다. n차원 반 더 시터르 공간의 등각 경계는 위상수학적으로 S^{n-1}\times S^1이고,[1][2] 전피복공간을 취하였을 경우 위상수학적으로 S^{n-1}\times\mathbb R이다. 등각 경계가 시간꼴이므로, 반 더 시터르 공간은 코시 곡면(Cauchy surface)을 가지지 않는다. 즉, 주어진 시간에 초기 조건을 부여하더라도, 등각 경계에 경계 조건을 부여하지 않으면 초기값 문제를 풀 수 없다.

특히, 빛의 속력의 입자는 반 더 시터르 공간의 등각 경계에 유한 시간 안에 도달할 수 있다. 정적 좌표계를 사용하고, 입자의 궤적이 r(t)라고 하자. 입자가 빛의 속력으로 움직이므로

0=ds^2=-(r^2/\alpha^2+1)dt^2+(r^2/\alpha^2+1)^{-1}dr^2

이고, 따라서

t(r)=\int\frac{dr}{1+r^2/\alpha^2}=\alpha\arctan(r/\alpha)

이다. 즉,

r(t)=\alpha\tan(t/\alpha)

이다. 원점 r=0에서 등각 경계 r=\infty에 도달하기 위해 필요한 시간은

t=\frac\pi2\alpha

임을 알 수 있다.

반 더 시터르 공간의 푸앵카레 조각(영어: Poincaré patch)은 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간이다. 푸앵카레 조각의 등각 경계는 n−1차원 민코프스키 공간이며, AdSn의 등거리사상군 SO(n−1,2)는 이 민코프스키 공간의 등각변환군으로 작용한다. 이는 AdS/CFT 대응성에 핵심적인 역할을 한다.

좌표계[편집]

반 더 시터르 공간에는 여러 좌표계를 정의할 수 있다. 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

푸앵카레 좌표계[편집]

반 더 시터르 공간(의 전피복공간)의 형상화. 반 더 시터르 공간은 원기둥의 내부에 해당하고, 그 등각 경계는 원기둥의 표면이다. 푸앵카레 조각은 녹색으로 칠해진 부분이다. 푸앵카레 조각의 표면은 마름모꼴인데, 이는 민코프스키 공간펜로즈 그림에 해당한다.

푸앵카레 좌표계(영어: Poincaré coordinates)를 사용하면 AdSn계량 텐서는 다음과 같다.

ds^2=\frac{\alpha^2}{z^2}\left(-dt^2+dz^2+\sum_{i=1}^{n-2}(dx^i)^2\right)

반 더 시터르 공간의 경계는 z=0에 위치해 있다.

푸앵카레 좌표계는 반 더 시터르 공간의 전체를 덮지 않는다. 하나의 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간을 푸앵카레 조각(영어: Poincaré patch)이라고 한다. 전피복공간을 취하지 않았을 경우 반 더 시터르 공간은 두 개의 푸앵카레 조각으로 이루어진다.

정적 좌표계[편집]

정적 좌표계(영어: static coordinates)를 사용하면 AdSn계량 텐서는 다음과 같다.

ds^2=-(r^2/\alpha^2+1)dt^2+(r^2/\alpha^2+1)^{-1}dr^2+r^2d\Omega_{n-2}^2

반 더 시터르 공간의 경계는 r=\infty에 위치해 있다. 이 좌표계는 반 더 시터르 공간 전체를 덮는다.

동시 좌표계[편집]

동시 좌표계(영어: synchronous coordinate)를 통해, 반 더 시터르 공간 AdSn쌍곡공간 Hn−1로 엽층화(foliation)할 수 있다. 이는 FLRW 계량의 특수한 경우다.

ds^2=-dt^2+\alpha^2\sin^2(t/\alpha)\left(ds^2+(\sinh^2s)d\Omega_{n-2}^2\right)
=-dt^2+\alpha^2\sin^2(t/\alpha)\left(\frac{dr^2}{1+r^2/\alpha^2}+r^2d\Omega_{n-2}^2\right)

이 좌표계는 반 더 시터르 공간의 일부만을 덮는다.

반 더 시터르 공간 위에서의 양자장론[편집]

반 더 시터르 공간에서의 양자장론민코프스키 공간이나 더 시터르 공간과 구별되는 여러 다른 특성을 가진다.

초대칭[편집]

더 시터르 공간에서는 초대칭이 존재할 수 없다. 그러나 반 더 시터르 공간과 민코프스키 공간에서는 초대칭이 존재할 수 있다.[3][4] 반 더 시터르 공간에서는 민코프스키 공간에서 존재하지 않는 초다중항이 있는데, 이들을 일중항(영어: singlet) 표현이라고 한다.

특히, 다음과 같은 차원에서는 32개의 초전하를 가지는 초대칭이 존재하며, 이 경우 일중항 표현은 다음과 같다.

공간 초군(supergroup) 초군의 보손 부분군 대응하는 막 일중항
AdS4×S7 OSp(8|4) SO(3,2)×SO(8) M2-막 스칼라 (×8), 스피너 (×8)
AdS5×S5 PSU(2,2|4) SO(4,2)×SO(6) D3-막 벡터 (×1), 스피너 (×4), 스칼라 (×6)
AdS7×S4 OSp(6,2|4) SO(6,2)×SO(5) M5-막 손지기(chiral) 2차 미분형식 (×2), 스피너 (×8), 스칼라 (×5)

이 가하학들은 끈 이론 또는 M이론에서 존재하는 막들의 사건 지평선 근처 기하학으로 얻을 수 있다. 위 표에서 "대응하는 막"은 이 막을 일컫는다. 이들은 AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.

음수 제곱 질량[편집]

민코프스키 공간에서는 불변 질량의 제곱 m^2이 항상 음이 아닌 실수이어야 한다. 제곱 질량이 음수인 경우는 타키온이라고 하며, 이는 진공의 불안정성을 나타낸다. 즉, 이러한 경우는 진공이 더 안정한, 타키온을 포함하지 않는 진공으로 붕괴하게 된다. 반면 반 더 시터르 공간에서는 제곱 질량이 음수인 경우가 가능하다. 즉, d차원 반 더 시터르 공간에서는 제곱 질량이

m^2\ge-\frac{(d-1)^2\hbar^2c^2}{4\alpha^2}

을 만족하면 일관적인 이론을 정의할 수 있다.[5] 이 부등식을 브라이텐로너-프리드먼 하한(Breitenlohner–Freedman bound)이라고 하고, 페터 브라이텐로너(독일어: Peter Breitenlohner)와 대니얼 프리드먼(영어: Daniel Z. Freedman)이 1982년에 발견하였다.[6][7] 만약

-(d-1)^2/4\le m^2c^2/\hbar^2\le 1-(d-1)^2/4

인 경우 자유 스칼라장을 경계 조건에 따라 서로 다른 두 가지 방법으로 양자화할 수 있다. (m^2>1-(d-1)^2/4라면 양자화는 유일하다.)

반 더 시터르 공간에서 음수 제곱 질량이 가능하다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.

블랙홀과 열역학[편집]

반 더 시터르 공간은 더 시터르 공간과 달리 유한한 온도를 가지지 않는다.[8]:579

반 더 시터르 공간 속에 존재하는 블랙홀은 최소 온도를 가진다.[8] 이 온도는 대략

T_0\sim\frac{\hbar c}{k_B\alpha}

이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Ballón Bayona, C. A., Nelson R. F. Braga (2007년 9월). Anti-de Sitter boundary in Poincare coordinates. 《General Relativity and Gravitation》 39 (9): 1367–1379. arXiv:hep-th/0512182. doi:10.1007/s10714-007-0446-y. Bibcode2007GReGr..39.1367B. ISSN 0001-7701.
  2. (영어) Petersen, Jens Lyng (1999년 9월 20일). Introduction to the Maldacena Conjecture on AdS/CFT. 《International Journal of Modern Physics A》 14 (23): 3597–3672. arXiv:hep-th/9902131. doi:10.1142/S0217751X99001676. Bibcode1999IJMPA..14.3597P. ISSN 0217-751X.
  3. (영어) de Wit, Bernard, Ivan Herger (2000년). 〈Anti-de Sitter supersymmetry〉, 《Towards Quantum Gravity. Proceedings of the XXXV International Winter School on Theoretical Physics Held in Polanica, Poland, 2–11 February 1999》, Lecture Notes in Physics 541, Springer, 79–100쪽. arXiv:hep-th/9908005. doi:10.1007/3-540-46634-7_4. Bibcode2000LNP...541...79D
  4. (영어) Duff, Michael J. (1999년 3월 10일). Anti-de Sitter space, branes, singletons, superconformal field theories and all that. 《International Journal of Modern Physics A》 14 (6): 815–843. arXiv:hep-th/9808100. Bibcode1999IJMPA..14..815D. ISSN 0217-751X.
  5. (영어) Aharony, Ofer, Steven S. Gubser, Juan Maldacena, Hirosi Ooguri, Yaron Oz (2000년 1월). Large N field theories, string theory and gravity. 《Physics Reports》 323 (3–4): 183–386. doi:10.1016/S0370-1573(99)00083-6. arXiv:hep-th/9905111. Bibcode1999PhR...323..183A.
  6. (영어) Breitenlohner, Peter, Daniel Z. Freedman (1982년 9월 2일). Positive energy in anti–de Sitter backgrounds and gauged extended supergravity. 《Physics Letters B》 115 (3): 197–201. doi:10.1016/0370-2693(82)90643-8. Bibcode1982PhLB..115..197B.
  7. (영어) Breitenlohner, Peter, Daniel Z. Freedman (1982년 12월). Stability in gauged extended supergravity. 《Annals of Physics》 144 (2): 249–281. doi:10.1016/0003-4916(82)90116-6. Bibcode1982AnPhy.144..249B.
  8. (영어) Hawking, Stephen W., Don N. Page (1983년 12월). Thermodynamics of black holes in anti-de Sitter space. 《Communications in Mathematical Physics》 87 (4): 577–588. doi:10.1007/BF01208266. Bibcode1982CMaPh..87..577H. MR0691045. ISSN 0010-3616.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]