킬링 벡터장

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킬링 벡터장(영어: Killing vector field)은 주어진 리만 다양체등거리변환의 무한소 생성자인 벡터장이다. 즉 다양체의 대칭을 나타낸다.

정의[편집]

리만 (또는 유사 리만) 다양체 (M,g)킬링 벡터장 X는 다음을 만족하는 M 위의 벡터장이다.

\mathcal L_Xg=0

여기서 \mathcal L은 리미분(Lie derivative)이다. 이를 국소좌표계로 쓰면 다음과 같다.

\nabla_{(\mu}X_{\nu)}=0

여기서 \nabla는 공변미분이다.

킬링 텐서와 킬링 스피너[편집]

유사하게 킬링 텐서 및 킬링 스피너장을 정의할 수 있다. 예를 들어, 킬링 2-텐서장 T는 다음을 만족한다.

\mathcal L_XT=0
\nabla_{(\mu}T_{\nu\rho)}=0

등각 킬링 벡터[편집]

닮음 킬링 벡터장(영어: homothetic Killing vector field) (X,\phi)는 다음을 만족한다.

\mathcal L_Xg=cg
\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu=cg_{\mu\nu}

여기서 X는 벡터장이고, c는 상수이다. 만약 c=0인 경우는 X는 킬링 벡터장이므로, 닮음 킬링 벡터장은 킬링 벡터장을 일반화한 것이다.

등각 킬링 벡터장(영어: conformal Killing vector field) (X,\phi)는 다음을 만족한다.[1]:13

\mathcal L_Xg=\phi g
\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu=\phi g_{\mu\nu}

여기서 X는 벡터장이고, \phi등각 킬링 인자(영어: conformal Killing factor)라고 불리는 스칼라장이다. 만약 \phi상수함수인 경우는 X는 닮음 킬링 벡터장이므로, 등각 킬링 벡터장은 킬링 벡터장과 닮음 킬링 벡터장을 일반화한 것이다.

d차원 준 리만 다양체에서, 어떤 스칼라장 \phi가 등각 킬링 인자가 될 필요충분조건은 다음과 같다.[1]:14–15

\left((d-2)\nabla_\mu\nabla_\nu+g_{\mu\nu}g^{\rho\sigma}\nabla_\rho\nabla_\sigma\right)\phi=0

위 조건을 g^{\mu\nu}로 축약시키면, 모든 차원에서 등각 킬링 인자들은 라플라스-벨트라미 연산자 g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu에 대한 조화함수인 것을 알 수 있다. d=2인 경우, 이 조건은 필요충분조건이다. 즉, 등각 킬링 인자일 조건은 조화함수인 조건과 동치이다.

정칙 킬링 벡터장[편집]

켈러 다양체리만 구조와 더불어 복소 구조를 갖춘다. 따라서, 켈러 다양체의 대칭은 복소 구조를 보존시키는 특수한 킬링 벡터장에 의하여 주어진다. 이를 정칙 킬링 벡터장(영어: holomorphic Killing vector field)라고 한다.[2]:239–244[3]:266–270 켈러 다양체의 접다발 TM^{\mathbb C}정칙적 부분 T^+M과 반정칙적 부분 T^-M으로 나뉜다. 정칙 킬링 벡터장은 T^+M의 단면이다.

X^i가 켈러 다양체 (M,g_{i\bar\jmath}) 위의 정칙 킬링 벡터장이라고 하자. 그렇다면 킬링 방정식은 다음과 같다.

\nabla_iX^kg_{k\bar\jmath}+\bar\nabla_{\bar\jmath}\bar X^{\bar k}g_{\bar ki}=0

이에 따라, X는 국소적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

X^i=-ig^{i\bar\jmath}\bar\partial_{\bar\jmath}D(z,\bar z)
\bar X^{\bar\imath}=ig^{j\bar\imath}\partial_jD(z,\bar z)

여기서 D(z,\bar z)킬링 퍼텐셜(영어: Killing potential)이라고 불리는, 국소적으로 정의된 실수 함수다. 이는 운동량 사상의 한 예로 볼 수 있다.

역사[편집]

독일의 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 땄다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Schottenloher, Martin (2008). 《A mathematical introduction to conformal field theory: Based on a series of lectures given at the Mathematisches Institut der Universität Hamburg》, Lecture Notes in Physics 759, Lecture Notes in Physics Monographs 43, 2판, Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-68628-6. MR2492295. Zbl 1161.17014. ISBN 978-3-540-68625-5
  2. (영어) Wess, Julius, Jonathan Bagger (1992년). 《Supersymmetry and Supergravity》. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. Bibcode1992susu.book.....W. ISBN 0-691-02530-4
  3. Freedman, Daniel Z., Antoine Van Proeyen (2012년 4월). 《Supergravity》. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139026833. Bibcode2012supe.book.....F. ISBN 9780521194013

바깥 고리[편집]

  • (영어) Killing vector. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).