등각 장론

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양자장론에서, 등각 장론(等角場論, 영어: conformal field theory, 약자 CFT)은 등각 변환에 대해 고전적으로 불변인 장론이다. 임의의 시공간 차원에서 정의할 수 있으나, 2차원의 경우는 특별한 성질을 지닌다.이 경우, 계는 복소평면을 일반화한 리만 곡면에서의 이론으로 기술한다. 응집물질물리학과 끈 이론에서 쓰인다.

전개

등각 다양체

등각장론은 등각 변환에 대하여 불변이다. 시공을 리만 다양체로 생각할 경우,등각변환은 시공에서 계량 텐서를 바일 변환을 제외하고 보존하는 변환이다. 즉 리만 다양체 $(M,g)$가 주어진다면, 등각변환 $f\colon M\to M$은 $g$를 다음과 같이 변환시킨다.

$g_{\mu\nu}(x)\mapsto\Omega(x)g_{\mu\nu}(x)$

여기서 $\Omega$는 $M$ 위의 스칼라장이다. 좀 더 추상적으로, 시공을 리만 다양체가 아니라, 단순히 미분다양체에 바일 변환에 대한 계량 텐서의 동치류가 주어진 구조로 생각할 수 있다. 이를 등각 다양체(等角多樣體, 영어: conformal manifold)라고 한다.

등각 대칭군의 생성자

등각 대칭군의 생성자는 (국소적으로) 다음과 같다. 우선 부호수가 $(p,q)$인 $d=p+q$차원 유클리드 공간 ($\mathbb R^{p,q}$)을 생각하자. 만약 $d>2$인 경우, 등각 대칭군은 $SO(p+1,q+1)$을 이룬다. 그 생성자는 다음과 같다.

• $d$개의 시공 평행 이동
• $d(d-1)/2$개의 로런츠 변환
• $1$개의 확대 변환(영어: dilatation)
• $d$개의 특수 등각 변환(영어: special conformal transformation)

특수 등각 변환은 반전(영어: inversion)과 평행 이동을 합성한 것이다. 여기서 반전이란

$I\colon x^\mu\mapsto x^\mu/x^2$

를 말한다. 즉 평행 이동

$T_a\colon x^\mu\mapsto x^\mu+a^\mu$

와 같이 쓰면, 특수 등각 변환은

$S_a=I\circ T_a\circ I$

의 꼴이다.

2차원 시공의 경우, (국소적) 등각군은 무한차원이다. 이 경우 등각 다양체는 (국소적으로) 리만 곡면 (1차원 복소 다양체)와 동등하고, 등각 변환은 리만 곡면 위의 정칙변환으로 나타난다. (민코프스키 부호수의 경우 윅 회전을 할 수 있다.) 그 대수는 고전적으로는 비트 대수(영어: Witt algebra), 양자화하면 비라소로 대수로 나타난다.

등각장

등각장론에서의 장 가운데 일부를 준일차장(準一次場, 영어: quasiprimary field)라 한다. 준일차장은 등각 변환 SO(p+1,q+1)에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 등각장론의 모든 장은 준일차장과 그 도함수의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

2차원의 경우, 일차장(一次場, 영어: primary field)은 준일차장 가운데 뫼비우스 변환 SO(1,3) 이외에도 임의의 등각 변환에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 일차장이 아닌 장은 이차장(二次場, 영어: secondary field)라 부른다.

에너지-운동량 텐서

뇌터 정리 및 워드-다카하시 항등식에 따라, 등각장론의 에너지-운동량 텐서의 대각합은 0이다. 2차원의 경우, 에너지-운동량 텐서를 진동 모드로 전개할 수 있고, 이에 따라 비라소로 대수를 얻는다.

2차원 등각 장론의 특성

높은 차원과는 달리, 2차원 등각 장론은 여러 모로 더 단순하며, 그에 따라 높은 차원에서 나타나지 않는 여러 특징을 지닌다.

비라소로 대수

이 부분의 본문은 비라소로 대수입니다.

높은 차원에서는 등각군은 유한차원이지만, 2차원의 시공에서는 그 등각군이 무한차원이다. 좀 더 정확하 말하면, SO(2,2) 아래에서의 등각 변환군은 정칙 함수의 등각 사상의 변환군(무한 차원 리 군)으로 확장되고, 이를 생성하는 리 대수는 (무한 차원의) 비라소로 대수다. (유클리드 계량 텐서의 경우) 정칙과 반정칙 비라소로 대수 두 복사본이 존재한다. (로렌츠 계량텐서의 경우 이는 오른쪽 및 왼쪽 모드에 해당한다.) 등각장론의 상태공간(힐베르트 공간)은 (중심 확장을 포함한) 비라소로 대수의 가군을 이룬다. 해밀토니안이 음수의 값을 가질 수 없으므로, 이는 최고 가중 가군(highest-weight module)이어야 한다.

비라소로 대수의 중심 원소 $c$는 등각 대칭의 변칙적 파괴를 나타낸다. 이에 따라, $c\ne0$이면 등각군은 $L_0, L_{\pm1}$에 의하여 생성되는 뫼비우스 부분군으로 깨진다.

가해성(可解性)

양자장론은 상관 함수로 기술되는데, 2차원 등각 장론에서는 이 상관함수를 비라소로 대수와 워드-다카하시 항등식(영어: Ward-Takahashi identity)을 써서 엄밀하게 구할 수 있다. 이러한 의미에서 2차원 등각 장론은 해를 구할 수 있으며(solvable), 2차원 통계역학 계 또는 1+1차원 양자계를 이해하는 데 있어서 강력한 도구다.

$c$-정리

존 카디(영어: John L. Cardy)는 중심원소 $c$가 계의 자유도의 수를 나타내는 것을 보였다. 그 뒤 알렉산드르 자몰롯치코프(러시아어: Алекса́ндр Борисович Замолодчиков)는 c가 재규격화군의 흐름을 나타낸다는 사실을 보였다. 즉 결합상수 $g_i$와 에너지 눈금 $\mu$에 대하여 함수 $c(g_i,\mu)$를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 지닌다.

• $c$는 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다.
• $c$의 재규격화군 부동점 $g_i=g_i^*$에서는 $c(g_i^*,\mu)$는 에너지에 상관없이 일정하다. 또한 이 경우 $c$의 값은 비라소로 대수의 중심원소의 값과 일치한다.

이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 $c$-정리($c$-theorem)으로 일컫는다.

$c$-정리는 2차원의 경우에는 증명되었으나, 아직 고차원에서 성립하는지 알려지지 않았고, 특수한 경우에는 고차원에서의 반례도 발견되었다. 4차원 $c$-정리는 2011년에 증명되었다.

응용

등각장론은 끈 이론에서 중요하게 쓰인다. 끈의 세계면은 2차원이므로, 그 세계면 위에서는 2차원 장론이 존재한다. 이론의 일관성을 위하여 이 장론은 등각장론이어야 한다. (초끈의 경우 등각대칭이 초등각대칭(영어: superconformal symmetry)으로 확장되게 된다.) 이 장론의 등각변칙이 시공의 차원을 26차원 (보존 이론) 또는 10차원 (초대칭 이론)으로 정한다. 또한, AdS/CFT 대응성에 따르면 특수한 경우 중력은 (3차원 또는 4차원 등의) 등각장론과 같다. 따라서 $\mathcal N=4$ 양-밀스 이론 등과 같은 등각장론이 중요한 역할을 한다.

등각장론은 통계역학에서 침투(percolation) 현상 및 일반적인 임계 현상을 다루는 데 응용된다.

역사

등각 장론은 1984년에 알렉산드르 벨라빈(러시아어: Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин)과 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알렉산드르 자몰롯치코프(러시아어: Алекса́ндр Бори́сович Замоло́дчиков)가 제창하였다.

참고 문헌

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• 임채호 (1995). 《등각장론》. 서울: 민음사. ISBN 8937435861

같이 보기

• 등각사상
• 임계점
• 베스-추미노-위튼 모형
• 아핀 리 대수
• 끈 이론
• AdS/CFT 대응성