등각 장론

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Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg
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(전자양전자쌍소멸로 인한 중간자 생성)
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v  d  e  h

양자장론에서, 등각 장론(等角場論, 영어: conformal field theory, 약자 CFT)은 등각 변환에 대하여 대칭적인 장론이다.[1][2][3][4][5][6][7][8] 임의의 시공간 차원에서 정의할 수 있으나, 2차원 등각 장론의 경우는 특별한 성질을 지닌다. 응집물질물리학끈 이론에서 쓰인다.

전개[편집]

등각 대칭[편집]

리만 다양체 (M,g)등각 대칭군 \operatorname{Conf}(M,g)은 다음과 같은 리 군이다.

\operatorname{Conf}(M,g)=\{(f,\phi)\in\operatorname{Diff}(M)\times\mathcal C^\infty(M,\mathbb R^+)\colon f^*g=\phi g\}

즉, 등각 변환은 등거리변환이 되는, 미분동형사상바일 변환의 합성이다.

등각 대칭군의 리 대수는 다음과 같다. 우선 계량 부호수(p,q)d=p+q차원 유클리드 공간 (\mathbb R^{p,q})을 생각하자. 만약 d>2인 경우, 등각 대칭군은 SO(p+1,q+1)을 이룬다. 그 생성자는 다음과 같다.

  • d개의 시공 평행 이동
  • d(d-1)/2개의 로런츠 변환
  • 1개의 확대 변환(영어: dilatation)
  • d개의 특수 등각 변환(영어: special conformal transformation)

특수 등각 변환은 반전(영어: inversion)과 평행 이동을 합성한 것이다. 여기서 반전이란

I\colon x^\mu\mapsto x^\mu/x^2

를 말한다. 즉 평행 이동

T_a\colon x^\mu\mapsto x^\mu+a^\mu

와 같이 쓰면, 특수 등각 변환은

S_a=I\circ T_a\circ I

의 꼴이다.

2차원 시공의 경우, (국소적) 등각군은 무한차원이다. 이 경우 등각 다양체는 (국소적으로) 리만 곡면 (1차원 복소 다양체)와 동등하고, 등각 변환은 리만 곡면 위의 정칙변환으로 나타난다. (민코프스키 부호수의 경우 윅 회전을 할 수 있다.) 그 대수는 고전적으로는 비트 대수(영어: Witt algebra), 양자화하면 비라소로 대수로 나타난다.

축척 대칭과 등각 대칭[편집]

푸앵카레 대칭과 확대 대칭을 따르는 대부분의 이론들은 특수 등각 대칭 또한 따르므로, "축척 불변"(scale invariance)과 "등각 불변"(conformal invariance)을 구분하지 않는 경우가 많다. 그러나 이에 대한 예외도 존재한다.[9][10]

등각장[편집]

등각 장론에서의 장 가운데 일부를 준일차장(準一次場, 영어: quasiprimary field)라 한다. 준일차장은 등각 변환 SO(p+1,q+1)에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 등각 장론의 모든 장은 준일차장과 그 도함수의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 준일차장들은 축척 변환 D에 대한 고윳값인 등각 차원 \Delta와, 로런츠 대칭 \operatorname{SO}(p,q)의 표현 l에 의해 명시된다.

2차원의 경우, 일차장(一次場, 영어: primary field)은 준일차장 가운데 뫼비우스 변환 SO(1,3) 이외에도 임의의 등각 변환에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 일차장이 아닌 장은 이차장(二次場, 영어: secondary field)라 부른다.

푸앵카레 대칭에 대한 위그너 분류와 마찬가지로, 등각 대칭의 유니터리 표현들을 분류할 수 있다. (p,q)=(d-1,1)일 때, 유니터리 등각 준일차장의 가능한 등각 차원은 다음과 같다.

로런츠 표현 등각 차원의 하한 하한을 포화하는 예
스칼라 \Delta\ge(d-2)/2 자유 스칼라장
스피너 \Delta\ge(d-1)/2 자유 페르미온
벡터 \Delta\ge d-1 뇌터 보존류
p미분 형식 (0<p\le\lfloor d/2\rfloor) \Delta\ge d-p 전자기장 텐서 (d=4,p=2)
완전 대칭 완전 무대각합 \ell-텐서 (\ell\ge1) \Delta\ge d-2+\ell 에너지-운동량 텐서 (\ell=2)

이들 하한들을 유니터리 하한(영어: unitarity bound)이라고 하며, 이들은 대체로 자유장에 의하여 포화된다.[11]

이들 하한은 게이지 불변 연산자에만 적용된다. 예를 들어, 자유 전자기 퍼텐셜 A_\mu는 벡터임에도 불구하고 차원이 1이다. 하지만 이는 게이지 불변이 아니며, 게이지 불변 연산자인 전자기 텐서 F_{\mu\nu}는 유니터리 하한을 만족시킨다.

d=2인 경우, 유니터리 하한은 단순히 h,\bar h\ge0이다. d=3인 경우, 스핀이 j\in\{0,1/2,1,\dots\}인 표현의 유니터리 하한은

\Delta\ge\min\{2j,j+1\}

이다.[11]:(2.42), (2.43), (2.44) d=4인 경우, 스핀이 (j,\tilde\jmath)인 표현의 유니터리 하한은

\Delta\ge j+\tilde\jmath+1+\min\{1/2,j\}+\min\{1/2,\tilde\jmath\}

이다.[11]:(2.45), (2.46)

성질[편집]

방사 양자화와 상태-연산자 대응성[편집]

등각 다양체로서, \mathbb R^d\setminus\{0\}S^{n-1}\times\mathbb R은 서로 동치이다. 따라서, 초구 S^{n-1} 위에 정의된 등각 장론은 마치 원점을 제거한 유클리드 공간 위에 정의된 것으로 간주할 수 있다. 즉, 유클리드 공간에서의 직교좌표 x^i\in\mathbb R^d가 주어지면, 원점으로부터의 거리 r=|x|를 시간으로 삼아 양자화할 수 있다. 이러한 양자화를 방사 양자화(放射量子化, 영어: radial quantization)라고 하며, 이는 일반적인 차원에서의 등각 장론에서 가능하다.[12]:100 이에 따라, 일반적인 양자장론에서의 시간 순서(영어: time ordering)와 마찬가지로, 방사 순서(영어: radial ordering) 연산자

R(A(x)B(y))=\begin{cases}
A(x)B(y)&|x|>|y|\\
B(y)A(x)&|x|<|y|\\
\end{cases}

를 정의한다.[1]:19 모든 상관 함수에서는 암묵적으로 방사 순서 연산자가 포함돼 있다. 즉, 아래에서 좌변과 같이 쓰더라도 암묵적으로 우변을 의미한다.

\langle1|O_1(z_1)O_2(z_2)\cdots O_n(z_n)|1\rangle=\langle1|R\left(O_1(z_1)O_2(z_2)\cdots O_n(z_n)\right)|1\rangle

또한, 원점에 국소 연산자를 삽입하는 것은 무한한 과거에서의 경계 조건을 결정하는 것과 같으며, 이는 경로 적분을 통해 현재 상태를 결정한다. 이와 반대로, 주어진 상태에 대하여, 이 상태를 만드는 국소 연산자를 정의할 수 있다. 즉, 등각 장론에서는 가능한 상태들과 가능한 국소 연산자들 사이의 일대일 대응이 존재한다. 이를 이를 상태-연산자 대응성(영어: state–operator correspondence)이라고 한다. 이 정의에 따라서, 진공 상태 |1\rangle에 대응하는 연산자는 항등 연산자 1이다.

특히, 2차원의 경우 좌표는 보통 복소수 z\in\mathbb C로 나타내게 된다. 이 경우, C^\times=\mathbb C\setminus\{0\}\mathbb C/2\pi i\cong S^1\times\mathbb R 사이의 등각 동형사상은 지수함수

z=\exp w=\exp(t+i\theta)

로 간편하게 나타내어진다. 이 경우, 원점 z=0 (t=-\infty)는 무한 과거에 대응하며, 반면 z=\hat\infty (t=+\infty)는 무한 미래에 해당한다.

이에 따라서, 등각 장론의 상태는 원점 근처에서의 데이터로 나타낼 수 있다. 즉, 국소 연산자 O(z,\bar z)가 주어지면, 이 연산자를 원점(무한 미래)에 삽입하여, 연산자 O에 대응하는 초기 상태(브라) |O\rangle를 다음과 같이 정의할 수 있다.

|O\rangle=\lim_{z,\bar z\to0}O(z,\bar z)|1\rangle

연산자 O가 좌표 변환 f(z)=1/z에 대하여

(f^*O)(z,\bar z)=p(\partial f,\bar\partial f)O(f(z),f(z))

의 꼴로 변환한다고 하면, 연산자 O에 대응하는 최종 상태() \langle O|

\langle O|=\lim_{w,\bar w\to0}\langle1|O(w,w)=\lim_{z,\bar z\to\infty}\langle1|\frac1{f(z)}O(z,\bar z)

가 된다. 무게가 (h,\bar h)인 1차장의 경우

(f^*O)(z,\bar z)=(\partial f)^h(\bar\partial\bar f)^{\bar h}O(f(z),\bar f(\bar z))

의 꼴로 변환하므로,

\langle O|=\lim_{z,\bar z\to\hat\infty}\langle1|z^{2h}\bar z^{2\bar h}O(z,\bar z)

이다. 1차장이 아닌 장들(예를 들어, 에너지-운동량 텐서 T(z,\bar z))의 경우 변환 법칙은 더 복잡하다.

상관 함수의 성질[편집]

임의의 차원의 등각 장론에서, 2점 및 3점 상관 함수들은 모두 등각 대칭에 의하여 정해진다. 즉, 등각 대칭을 사용하여 임의의 세 점 x_1,x_2,x_3\in\mathbb R^d을 각각 0,e_1,\infty로 보낼 수 있다 (e_1=(1,0,0,\dots,0)). 다시 말해, 세 개의 점으로는 아무런 등각 불변량을 정의할 수 없다. 반면, 네 개의 점 x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb R^d이 주어지면 비조화비라는 등각 불변량을 정의할 수 있다. 따라서, 등각 대칭은 3점 함수를 완전히 결정시키지만, 4점 함수는 완전히 결정시키지 못한다.

2차원의 경우, 구체적으로, 등각 무게가 각각 (h_i,\bar h_i)인 연산자 O_i들의 2점 상관 함수는 다음과 같은 꼴이다.

\langle1|O_i(z_1)O_j(z_2)|1\rangle=C_{ij}z_{12}^{-h_i+h_j}\bar z_{12}^{-\bar h_i-\bar h_j}
\langle1|O_i(z_1)O_j(z_2)O_k(z_3)|1\rangle
=C_{ijk}z_{12}^{-h_i-h_j+h_k}z_{23}^{h_i-h_j-h_k}z_{13}^{-h_1+h_2-h_3}
\bar z_{12}^{-\bar h_i-\bar h_j+\bar h_k}\bar z_{23}^{\bar h_i-\bar h_j-\bar h_k}\bar z_{13}^{-\bar h_1+\bar h_2-\bar h_3}

여기서 z_{ij}=z_i-z_j, \bar z_{ij}=\bar z_i-\bar z_j이다. 반면 4점 이상의 상관 함수는 등각 대칭에 의하여 완전히 결정되지 않는다. 이는 타이히뮐러 공간 \mathcal T_{0,n}n>3이면 더 이상 0차원이 아니기 때문이다. 즉, 리만 구의 등각 대칭(뫼비우스 변환)을 사용하여 임의의 3개의 점을 원하는 위치로 고정시킬 수 있지만, 4번째의 점은 이렇게 고정시키지 못한다.

에너지-운동량 텐서[편집]

뇌터 정리워드-다카하시 항등식에 따라, 등각 장론의 에너지-운동량 텐서대각합은 0이다. 2차원의 경우, 에너지-운동량 텐서를 진동 모드로 전개할 수 있고, 이에 따라 비라소로 대수를 얻는다.

c-정리와 a-정리[편집]

임의의 2차원 양자 장론에 대하여, c라는 값이 존재한다. 이는

  • c는 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다.
  • c의 재규격화군 부동점 g_i=g_i^*에서는 c(g_i^*,\mu)는 에너지에 상관없이 일정하다. 또한 이 경우 c의 값은 비라소로 대수의 중심원소의 값과 일치한다.

이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 c-정리(c-theorem)으로 일컫는다.

최근 고차원에서도 유사한 정리들이 발견되었다. 예를 들어, 4차원의 경우 2011년에 c와 유사한 a라는 값이 정의되었다.

2차원 등각 장론[편집]

2차원 등각 장론은 다른 차원의 등각 장론과 현저히 다른 현상을 보인다. 특히, 2차원에서는 등각 대칭이 무한 차원 대수인 비라소로 대수로 확장된다.

4차원 등각 장론[편집]

4차원 등각 대수[편집]

4차원 등각 대수는 M_{\mu\nu} (회전), P_\mu (병진), D (확대), K_\mu (특수 등각 변환)로 구성된다. 이 가운데 처음 둘은 푸앵카레 대칭을 이룬다. 이들은 다음과 같은 대수를 따른다.[2]:98

[D,K_\mu]=-iK_\mu
[D,P_\mu]=iP_\mu
[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu}
[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu)
[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu)
[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})

스칼라장의 경우, 이들은 다음과 같이 표현된다.[2]:98

M_{\mu\nu}=i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)
P_\mu=-i\partial_\mu
D=-ix_\mu\partial^\mu
K_\mu=i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu)
생성원 설명 보존량 개수 질량 차원
Mμν 회전과 로런츠 변환 각운동량 x_\nu T_{\mu\rho}-x_\mu T_{\nu\rho} d(d-1)/2 0
Pμ 병진 변환 에너지-운동량 텐서 T_{\mu\nu} d 1
D 확대 변환 x^\mu T_{\mu\nu}[9]:§1.1 1 0
Kμ 특수 등각 변환 (2x_\mu x^\lambda-x^2\delta^\lambda_\mu)T_{\lambda\nu}[9]:§1.1 d −1

초등각 게이지 이론[편집]

4차원 \mathcal N=2 초대칭 게이지 이론에서는 재규격화군 베타 함수가 하나의 고리를 가진 파인먼 도형을 통해서만 보정된다. (물론 비섭동적으로 순간자에 의한 보정도 있다.) 따라서, 이 1개 고리 베타 함수의 계수가 0이고, 초퍼텐셜이 0이면 이론이 초등각 대칭을 가지게 된다. 베타 함수가 0일 조건은 각 게이지 군에 필요한 수만큼의 페르미온들이 존재해야 하는 것이다. 이는 다음 표와 같다.

게이지 군 (기본 표현 하이퍼 초다중항) 맛깔의 수
SU(N) 2N[13]:§1
USp(2N) 2N+2[13]:§4.4[14]:§3.1
SO(N) N-2[14]:§3.1

초등각 화살집 게이지 이론의 경우, 위 표는 D4-막NS5-막을 사용한 하나니-위튼 막 만화(영어: Hanany–Witten brane cartoon)으로 설명할 수 있다. 예를 들어, SU(N) 화살집의 경우, 물질 맛깔의 수는 NS5-막에 붙은 D4-막들의 수에 의해 주어지고, 이 경우 베타 함수는 NS5-막들의 휨에 의해 주어진다. 등각 대칭이 유지될 조건은 NS5-막의 양쪽에 같은 수의 D4-막이 붙어 있어, 양쪽으로의 장력이 서로 같아야 하는 조건이다.[15]:§2.1, §4.1

초등각 화살집 게이지 이론들은 가이오토 이중성이라는 이중성들을 보인다. 이는 6차원 (2,0) 초등각 장론 (M5-막의 세계부피 이론)을 리만 곡면축소화하여 유도할 수 있다.

[편집]

대표적인 등각 장론으로는 다음이 있다.

  • 2차원
    • 최소 모형 — 이들은 완전히 분류된, 2차원 유니터리 유리(rational) 등각 장론들이다.[1]:45,97[16]:71–72[17] 이들은 유한 개의 1차장들을 가지며, 등각 붓스트랩(영어: conformal bootstrap)을 통해 완전히 풀 수 있다. 이들의 중심 원소는
c=1-\frac{6(m-n)}{mn} (m,n서로소 양의 정수)
의 꼴이다. 임계점 근처에서의 이징 모형과 3상태 포츠 모형최소 모형의 특수한 경우다.

응용[편집]

끈 이론[편집]

등각 장론은 끈 이론에서 중요하게 쓰인다. 끈의 세계면은 2차원이므로, 그 세계면 위에서는 2차원 장론이 존재한다. 이론의 일관성을 위하여 이 장론은 2차원 등각 장론이어야 한다. (초끈의 경우 이론은 2차원 𝒩=1 초등각 장론이 된다.) 이 장론의 등각 변칙이 시공의 차원을 26차원 (보존 이론) 또는 10차원 (초대칭 이론)으로 정한다. 또한, AdS/CFT 대응성에 따르면 특수한 경우 중력은 (3차원 또는 4차원 등의) 등각 장론과 같다. 따라서 \mathcal N=4 양-밀스 이론 등과 같은 등각 장론이 중요한 역할을 한다.

통계역학[편집]

등각 장론은 통계역학에서 침투(percolation) 현상 및 일반적인 임계 현상을 다루는 데 응용된다.[18][19][20][21]

비입자[편집]

하워드 조자이는 실제 세계에서, 4차원 등각 장론을 따르는 입자들이 표준 모형 입자와 공존할 수 있다는 가능성을 제기하였다.[22][23] 이 경우, 등각 장론을 따르는 장들은 통상적인 입자를 이루지 않으므로, 이러한 물질을 비입자(非粒子, 영어: unparticle)라고 한다.

역사[편집]

등각 장론은 1984년에 알렉산드르 아브라모비치 벨라빈(러시아어: Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин)과 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알렉산드르 자몰롯치코프가 제창하였다.[17]

참고 문헌[편집]

  1. Ginsparg, Paul (1988년 11월). “Applied conformal field theory” (영어). arXiv:hep-th/9108028. Bibcode:1991hep.th....8028G. 
  2. Di Francesco, Philippe; Pierre Mathieu, David Sénéchal (1997). 《Conformal Field Theory》 (영어). New York: Springer. ISBN 0-387-94785-X. 
  3. Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105. 
  4. Schottenloher, Martin (2008). 《A mathematical introduction to conformal field theory: Based on a series of lectures given at the Mathematisches Institut der Universität Hamburg》 (영어). Lecture Notes in Physics 759, Lecture Notes in Physics Monographs 43 2판. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-68628-6. ISBN 978-3-540-68625-5. MR 2492295. Zbl 1161.17014. 
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  8. 임채호 (1995년 2월 1일). 《등각장론》 (한국어). 서울: 민음사. ISBN 89-374-3586-1. 
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  12. Tong, David (2009). “Lectures on string theory” (영어). arXiv:0908.0333. Bibcode:2009arXiv0908.0333T. 
  13. Gaiotto, Davide (2012년 8월). “N=2 dualities” (영어). 《Journal of High Energy Physics》 2012 (8): 34. arXiv:0904.2715. Bibcode:2012JHEP...08..034G. doi:10.1007/JHEP08(2012)034. ISSN 1029-8479. 
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  21. Henkel, Malte (1999). 《Conformal Invariance and Critical Phenomena》. Texts and Monographs in Physics. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03937-3. ISBN 978-3-540-65321-9. ISSN 1864-5879. 
  22. Georgi, Howard (2007). “Unparticle physics” (영어). 《Physical Review Letters》 98 (22): 221601. arXiv:hep-ph/0703260. Bibcode:2007PhRvL..98v1601G. doi:10.1103/PhysRevLett.98.221601. 
  23. Georgi, Howard (2007). “Another odd thing about unparticle physics” (영어). 《Physics Letters B》 650 (4): 275–278. arXiv:0704.2457. Bibcode:2007PhLB..650..275G. doi:10.1016/j.physletb.2007.05.037. 

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