행렬 이론

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

이론물리학에서, 행렬 이론(行列理論, 영어: M(atrix) theory)은 매우 큰 행렬들을 다루는 양자역학 모형이다. 이는 축소화시키지 않은 11차원 민코프스키 공간에서의 M이론의 비섭동적인 정의다.

역사와 어원[편집]

1996년에 토머스 뱅크스(영어: Thomas Banks)와 빌리 피스흘러르(네덜란드어: Willy Fischler), 스티븐 하트 솅커(영어: Stephen Hart Shenker)와 레너드 서스킨드가 발견하였다.[1] 영어명인 영어: M(atrix)는 행렬을 뜻하는 영어: matrix 메이트릭스[*]의 머릿글자가 M이론과 같은 "M"임을 농으로 딴 것이다. 발견자들의 이름을 따 BFSS 행렬 이론(영어: BFSS matrix theory)이라고 하기도 한다.

민코프스키 공간에서의 M이론을 나타내는 BFSS 행렬 이론 뒤에, IIB종 초끈 이론을 나타내는 IKKT 행렬 이론[2]이나, 평면파 배경에서의 M이론을 나타내는 BMN 행렬 이론[3] 등이 발견되었다.

유도[편집]

IIA종 초끈 이론에서, 끈 결합 상수 g_\text{s}가 매우 작은 경우를 생각하자. 이 경우, 11번째 차원의 반지름이 R=g_\text{s}\sqrt{\alpha'}이 매우 크게 되므로, IIA종 초끈 이론은 11차원에 존재하는 M이론으로 다룰 수 있다.

이제, 11번째 차원으로 로런츠 변환을 취하자. 11번째 차원이 축소화되어 있으므로, 운동량의 11번째 차원의 크기는 1/R의 단위로 양자화된다. 즉,

p_{11}=N/R (N\in\mathbb Z)

이다. 이제, 다음과 같은 극한을 취하자.

R\to\infty
N/R\to\infty

이 극한에서 유한한 에너지를 가진 상태들은 N개의 D0-막과 여기에 붙은 바닥 상태 열린 뿐이다. 이는 단순히 로런츠 변환을 한 것이므로, 11차원 M이론을 N개의 겹친 D0-막의 세계선 위에 존재하는 양자역학적 모형으로 나타낼 수 있다. 이를 행렬 이론이라고 한다.

정의[편집]

빛의 속력보다 매우 느린, N개의 겹친 D0-막의 해밀토니언은 다음과 같다.

H=\operatorname{tr}\left(
\frac{g_\text{s}\ell_\text{s}}2\sum_{i=1}^9P_iP_i-\sum_{i,j=1}^9\frac1{16\pi^2g_\text{s}\ell_\text{s}^5}[X^i,X^j]^2-\sum_{i=1}^9\frac1{4\pi\ell_\text{s}^2}\lambda\Gamma^0\Gamma^i[X^i,\lambda]\right)

여기서 \ell_\text{s}=\sqrt{\alpha'}는 끈 길이이고, g_\text{s}=\exp(\langle\Phi\rangle)는 닫힌 끈 결합 상수다. D0-막의 정지 질량N/(g_\text{s}\ell_\text{s})은 생략하였다.

여기서 X^iP_i, \lambda^i는 각각 N\times N 에르미트 행렬이며, 다음과 같은 정준 교환 관계를 가진다.

[(X^i)^a{}_b,(P_j)^c{}_d]=i\delta^i_j\delta^a_c\delta^b_d

\lambdaN\times N 에르미트 행렬이며, 행렬의 각 성분은 마요라나-바일 스피너이다. 이를 M이론 변수들

R=g_\text{s}\ell_\text{s}
\ell_\text{p}=g_\text{s}^{1/3}\ell_\text{s}

로 쓰면 다음과 같다.

H=R\operatorname{tr}\left(
\frac12\sum_{i=1}^9P_iP_i-\sum_{i,j=1}^9\frac1{16\pi^2\ell_\text{p}^6}[X^i,X^j]^2-\sum_{i=1}^9\frac 1{4\pi\ell_\text{p}^2}\lambda\Gamma^0\Gamma^i[X^i,\lambda]\right)

이를 해밀토니언으로 가지는 양자역학계를 행렬 이론이라고 한다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Banks, T., W. Fischler, S.H. Shenker, L. Susskind (1997년 4월). M Theory As A Matrix Model: A Conjecture. 《Physical Review D》 55: 5112–5128. arXiv:hep-th/9610043. doi:10.1103/PhysRevD.55.5112. Bibcode1997PhRvD..55.5112B.
  2. . arXiv:hep-th/9908038.
  3. . arXiv:hep-th/0405107.