베스-추미노-위튼 모형

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이론물리학수학에서, 베스-추미노-위튼 모형(Wess-Zumino-Witten (WZW) model), 혹은 베스-추미노-노비코프-위튼 모형(Wess-Zumino-Novikov-Witten model)은 등각 장론의 가장 간단한 모형이다. 이는 비선형 시그마 모형의 일종이며, 그 과녁 공간(target space)은 (반)단순 리 군이다.

역사 및 어원[편집]

율리우스 베스브루노 추미노[1], 세르게이 노비코프[2], 에드워드 위튼[3][4]이 발견하였다. 비슷한 이름을 가진 베스-추미노 모형(4차원 초대칭 양자장론)과는 (발견자가 같은 것을 제외하며) 관계없는 이론이다.

정의[편집]

G콤팩트 단일연결 단순 리 군이고, 그 리 대수\mathfrak g라고 하자. 베스-추미노-위튼 모형은 비선형 시그마 모형 g\colon\hat{\mathbb C}\to G이다. 여기서 \hat{\mathbb C}\cong S^2리만 구면이다. 이에 따라, Dg=g^{-1}dgS^2 위에 \mathfrak g값을 가진 1차 미분형식이다.

리 대수 \mathfrak g의 지표는 a,b,c,\dots로 쓰고, S^2 좌표의 지표는 i,j,k,\dots로 쓰자. 또한, S^2=\partial B^3으로 써, B^3의 좌표는 I,J,K,\dots로 쓰자. a,b,c,\dots\mathfrak g킬링 형식으로 올리거나 내리고, i,j,k,\dotsI,J,K,\dotsS^2 또는 B^3의 표준 계량으로 올리거나 내린다.

베스-추미노-위튼 모형의 작용은 다음과 같다.

S=S_1+S_2
S_1=-\frac{k}{8\pi}\int_{S^2}d^2x\,(Dg)^2
S_2=-\frac k{24\pi}\int_{B^3}d^3y\,\epsilon^{ijk}f_{abc}D_Ig^aD_Jg^bD_Kg^c

여기서 \epsilon^{IJK}레비-치비타 기호, f_{abc}리 대수의 구조 상수다. k\in\mathbb Z준위(영어: level)이라고 불리는 정수다.

S_1은 단순한 비선형 시그마 모형 항이다. S_2를 정의하기 위해서는 g\colon S^2\to GB^3\to G로 확장해야 한다. 만약 준위 k정수라면, 베스-추미노-위튼 모형의 작용은 서로 다른 확장을 취하더라도 2\pi n만큼 차이가 나, \exp(iS)는 불변이다. 즉, k가 정수라면 베스-추미노-위튼 모형을 양자화할 수 있다.

만약 G가 반단순일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

베스-추미노-위튼 모형의 전류(current, h=1인 일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이룬다.

천-사이먼스 이론과의 관계[편집]

천-사이먼스 이론은 3차원 위상 양자장론이다. 만약 천-사이먼스 이론을 경계가 있는 3차원 다양체 위에 정의하면, 그 경계에는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형이 존재한다.[5]:§5 천-사이먼스 이론의 상태와 베스-추미노-위튼 모형의 상태들을 대응시킬 수 있다. 이는 AdS/CFT 대응성의 단순한 경우(AdS3/CFT2)로 생각할 수 있다.[6][7] 천-사이먼스/베스-추미노-위튼 대응성은 에드워드 위튼이 1989년에 발견하였다.[8]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Wess, Julius, Bruno Zumino (1971년 11월 1일). Consequences of anomalous Ward identities. 《Physics Letters B》 37 (1): 95–97. doi:10.1016/0370-2693(71)90582-X. Bibcode1971PhLB...37...95W. ISSN 0370-2693.
  2. (영어) Novikov, S.P. (1981년). Multivalued functions and functionals: An analogue of Morse theory. 《Soviet Mathematics Doklady》 24: 222–226. Zbl 0505.58011. ISSN 0197-6788.
  3. (영어) Witten, Edward (1983년). Global aspects of current algebra. 《Nuclear Physics B》 223 (2): 422–421. doi:10.1016/0550-3213(83)90063-9. Bibcode1983NuPhB.223..422W. ISSN 0550-3213.
  4. (영어) Witten, Edward (1984년). Non-abelian bosonization in two dimensions. 《Communications in Mathematical Physics》 92 (4): 455–472. doi:10.1007/BF01215276. Zbl 0536.58012. ISSN 0010-3616.
  5. (영어) Gawędzki, Krzysztof (1999년 4월 21일). Conformal field theory: a case study. arXiv:hep-th/9904145.
  6. (영어) Chern-Simons Gauge Theory and the AdS(3)/CFT(2) Correspondence. arXiv:hep-th/0403225.
  7. (영어) Chiral anomalies and AdS/CMT in two dimensions. arXiv:1012.4831.
  8. (영어) Witten, Edward (1989년). Quantum field theory and the Jones polynomial. 《Communications in Mathematical Physics》 121호=3: 351–399. MR0990772.
  • (영어) Tsvelik, Alexei M. (2010년 5월). 《Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics》. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511615832. ISBN 978-0-521-82284-8
  • (영어) Walton, Mark (1999년 11월 24일). Affine Kac–Moody algebras and the Wess–Zumino–Witten model. arXiv:hep-th/9911187.
  • (영어) Fuchs, Jürgen (1997). 〈Lectures on conformal field theory and Kac–Moody algebras〉, 《Conformal Field Theories and Integrable Models: Lectures Held at the Eötvös Graduate Course, Budapest, Hungary, 13–18 August 1996》, Lecture Notes in Physics 498. Berlin, Heidelberg: Springer, 1–54쪽. arXiv:hep-th/9702194. doi:10.1007/BFb0105277. ISBN 978-3-540-63618-2