산란 행렬

산란 이론에서, 산란 행렬(散亂行列, 영어: scattering matrix) 또는 S행렬이란 산란 과정을 겪는 계의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는 유니타리 행렬이다. 기호는 S. 이를 이용하여 산란단면적이나 붕괴율 따위를 계산할 수 있다. 양자장론에서는 산란 행렬을 파인먼 도형으로 계산할 수 있다. 1937년에 존 휠러가 도입하였다.

수학적 정의

하이젠베르크 묘사를 쓰자. 민코프스키 공간에서 질량 간극을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는 포크 공간을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간 $\mathcal H_\text{I}$와 나중 상태의 포크 공간 $\mathcal H_\text{F}$를 다음과 같이 적을 수 있다.

$\mathcal H_\text{I}= \operatorname{span}\{ \left| k_1\ldots k_n \right\rangle = a_i^\dagger (k_1)\cdots a_i^\dagger (k_n)\left| I, 0\right\rangle_\text{I}\}$

$\mathcal H_\text{F}= \operatorname{span}\{ \left| p_1\ldots p_n \right\rangle = a_f^\dagger (p_1)\cdots a_f^\dagger (p_n)\left| F, 0\right\rangle_\text {F}\}$

따라서 산란 행렬 S를 다음과 같이 정의한다.

$\left \langle\beta \right |_\text{I}S\left |\alpha\right\rangle_\text{I} = S_{\alpha\beta} = \left \langle \beta |_\text{F}|\alpha\right\rangle_\text{I}$.

보통 $S=1+iT$와 같이 $T$ 행렬을 같이 정의한다. 여기서 $T$는 산란 과정 가운데 관측할 수 있는 부분 (초기 상태와 다른 부분)을 나타낸다.

성질

위그너 정리에 따라 S는 유니타리 연산자다. 또한 다음을 만족한다.

• $S\left|0\right\rangle = \left|0\right\rangle$ (진공에서의 항등성)
• $S\left| k\right\rangle=\left| k\right\rangle$ (단입자상태에서의 항등성)

만약 상호작용 해밀토니안을 알면, 산란행렬을 상호작용 해밀토니안 $H_\text{int}(x)$의 급수로 나타낼 수 있다. 이를 다이슨 급수라 하며, 프리먼 다이슨이 도입하였다.

$S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i)^n}{n!} \int \cdots \int d^4x_1 d^4x_2 \ldots d^4x_n T [ H_\text{int}(x_1) H_\text{int}(x_2) \cdots H_\text{int}(x_n)]$

여기서 $T[\cdots]$는 시간 순서화(time ordering)다.

또한 산란 행렬을 상관함수로 나타낼 수도 있는데, 이를 LSZ 축약 공식이라고 한다. 상관함수는 파인먼 도형으로 계산할 수 있다.

같이 보기

• 파인먼 도형
• LSZ 축약 공식
• 윅의 정리