시그마 모형

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양자장론에서, 시그마 모형(σ模型, sigma model)은 두 미분다양체 사이의 매끈한 함수으로 삼는 양자장론의 한 종류다. 끈 이론에서 쓰인다.

역사[편집]

머리 겔만과 모리스 레비(Maurice Lévy)가 베타 붕괴를 설명하기 위해 1960년에 이 종류의 모형을 최초로 고안하였다.[1] 여기서 시그마(σ)는 겔만-레비 모형에서 스칼라 중간자장의 하나였다.

정의[편집]

M시공간을 나타내는 미분다양체이고, T과녁 공간(target space)이라고 불리는 미분다양체이다. M 위의 계량 텐서g_{\mu\nu}로, T 위의 계량 텐서는 g_{ab}로 쓰자. \Sigma\colon M\to T매끈한 함수라고 하자. 그렇다면 그 도함수는 \partial_\mu\Sigma^a이다.

이 장으로 적을 수 있는 일반적인 라그랑지언은 다음과 같다.

\mathcal L=g^{\mu\nu}g_{ab}\partial_\mu\Sigma^a\partial_\nu\Sigma^b-V(\Sigma).

여기서 T유클리드 공간 \mathbb R^n이나 \mathbb S^1과 같은 단순한 공간일 경우에는 이를 선형 시그마 모형(linear sigma model)이라고 하고, 그렇지 않을 경우에는 비선형 시그마 모형(nonlinear sigma model)이라고 한다.

성질[편집]

비선형 시그마 모형은 M이 3차원 이상일 경우에는 재규격화할 수 없다.

시그마 모형의 장 \Sigma\colon M\to TMT 속에 매장(embedding)하는 것으로 해석할 수 있다. 즉 T 속에 \dim M 차원의 브레인(brane)의 움직임을 나타낸다. 끈 이론에서는 끈은 2차원 브레인이므로 M은 끈 세계면을 나타내는 2차원 다양체다. T시공간으로, 끈 이론의 종류에 따라 26차원이거나 10차원이다. 끈 이론에서 다루는 2차원 시그마 모형은 재규격화할 수 있다. 이는 대니얼 프리댄이 1980년에 증명하였다.[2] 비선형 시그마 모형의 베타 함수는 (1개 고리 차수만 고려하면) 과녁 공간의 리치 흐름과 같다.

\frac{dg_{\mu\nu}}{d\ln(\lambda)}=R_{\mu\nu}+\cdots

(여기서 g_{\mu\nu}는 과녁 공간의 계량, R_{\mu\nu}리치 곡률 텐서다.) 이 사실은 끈 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 끈 이론에서, 등각 대칭은 게이지 대칭이므로, 세계면에 존재하는 이론은 항상 등각 장론이어야 한다. 즉, 베타 함수가 0이어야 한다. 이에 따라서, 그 과녁 공간 (끈 이론에서의 시공간)의 리치 곡률이 0이어야 한다. 이는 진공에서의 아인슈타인 방정식이다. 즉, 끈 이론이 일반 상대성 이론을 재현함을 알 수 있다.

비상대론적 양자역학은 함수 \psi(t)\colon\mathbb R\to\mathbb R에 대한 경로 적분으로 정의된다. 따라서 비상대론적 양자역학은M=\mathbb R, T=\mathbb R인 (선형) 시그마 모형이다.

초대칭 시그마 모형[편집]

(비선형) 시그마 모형에 페르미온을 추가하여, 초대칭 시그마 모형(영어: supersymmetric sigma model)을 만들 수 있다.[3][4][5][6] 이 경우, 가능한 과녁 공간의 모양은 초대칭의 개수에 따라 제한된다.

초대칭 시그마 모형의 양자화에 따라, 시그마 모형의 초대칭 바닥 상태들은 켈러 다양체인 과녁 공간의 조화형식과 일대일 대응한다.[3]:305

가장 간단한 예로, 과녁 공간이 콤팩트 리만 다양체 (M,g)인 초대칭 시그마 양자역학을 생각하자.[3]:206–220 즉, "시공간"이 1차원(시간)인 경우다. 이 경우, 힐베르트 공간M 위의 (복소) 미분형식들의 공간과 동형이다.

\mathcal H\cong\Omega(M)\otimes\mathbb C

이 경우, 미분형식의 차수는 상태의 페르미온 수 연산자가 된다. 국소좌표계를 \{x^i\}로 잡으면, 다음과 같은 정준 교환 관계(canonical commutation relation)을 잡을 수 있다.

[x^i,-i\nabla_j]=i\delta^i_j
\{dx^i\wedge,i\iota_{\partial_j}\}=ig^{ij}

이들을 각각 보손 및 페르미온 위치 및 운동량 연산자로 해석한다.

이 경우, 초대칭 연산자는 외미분 d\colon\Omega^n(M)\otimes C\to\Omega^{n+1}(M)\otimes C이고, 해밀토니언 연산자라플라스-벨트라미 연산자

H=\{d,d^\dagger\}=\Delta

가 된다. 즉, 바닥 상태조화형식에 대응하고, 드람 코호몰로지초대칭 코호몰로지에, 오일러 지표위튼 지표에 대응한다.

과녁 공간이 켈러 다양체인 경우, 4개의 초대칭은 각각 \partial, \bar\partial, \partial^\dagger, \bar\partial이 되고, 초대칭 코호몰로지는 돌보 코호몰로지가 된다. 과녁 공간이 초켈러 다양체인 경우, 복소 구조가 여러 개 있으므로 서로 다른 두 복소 구조를 사용해 그 초대칭이 총 8개가 된다.

게이지 선형 시그마 모형[편집]

게이지 선형 시그마 모형(영어: gauged linear sigma model, 약자 GLSM)은 선형 시그마 모형에 게이지장을 추가한 것이다..[3] 이 경우 특정한 극한을 취하면, 이는 게이지 선형 시그마 모형의 진공 다양체를 과녁 공간으로 하는 비선형 시그마 모형으로 수렴하게 된다. 이와 같은 과정으로 원환 다양체를 과녁 공간으로 하는 비선형 시그마 모형들을 작도할 수 있다. 이는 에드워드 위튼이 도입하였다.[7]

참고 문헌[편집]

  1. Murray Gell-Mann, Maurice Lévy (1960년). The axial vector current in beta decay. 《Il Nuovo Cimento》 16: 705–726. doi:10.1007/BF02859738.
  2. Friedan, Daniel. Nonlinear models in 2+ε dimensions. 《Physical Review Letters》 45 (13): 1057–1060. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057.
  3. Hori, Kentaro, Sheldon Katz, Albrecht Klemm, Rahul Pandharipande, Richard Thomas, Cumrun Vafa, Ravi Vakil, Eric Zaslow (2003). 《Mirror Symmetry》, Clay Mathematical Monographs 1, American Mathematical Society/Clay Mathematical Institute. MR2003030. Zbl 1044.14018. ISBN 0-8218-2955-6
  4. Kuzenko, Sergei M. (2010년). Lectures on nonlinear sigma-models in projective superspace. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 43 (44): 3001. arXiv:1004.0880. doi:10.1088/1751-8113/43/44/443001.
  5. Lindström, Ulf (2012년). Supersymmetric sigma model geometry. arXiv:1207.1241.
  6. Bagger, Jonathan A. (1984년 9월). Supersymmetric sigma models. SLAC-PUB-3461.
  7. (영어) Witten, Edward (1993년). Phases of N=2 Theories In Two Dimensions. 《Nuclear Physics B》 403 (1): 159-222. arXiv:hep-th/9301042. doi:10.1016/0550-3213(93)90033-L. Bibcode1993NuPhB.403..159W.
  • Ketov, Sergei V. (2009년). Nonlinear sigma model. 《Scholarpedia》 4 (1): 8508. doi:10.4249/scholarpedia.8508.
  • Lindström, Ulf (2006년). A brief review of supersymmetric non-linear sigma models and generalized complex geometry. arXiv:hep-th/0603240.
  • Lindström, Ulf (2004년). Generalized complex geometry and supersymmetric non-linear sigma models. arXiv:hep-th/0409250.
  • Ketov, Sergei V. (2000). 《Quantum Non-linear Sigma-Models: From Quantum Field Theory to Supersymmetry, Conformal Field Theory, Black Holes and Strings》. Springer. ISBN 978-3-540-67461-0