원환 다양체

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대수기하학에서, 원환 다양체(圓環多樣體, 영어: toric variety)는 대수적 원환면 (\mathbb C^*)^n조밀하게 포함하여, 그 작용을 다양체 전체에 정의할 수 있는 대수다양체이다.

정의[편집]

편의상 복소수\mathbb C를 생각하자. 원환 다양체 (M,\phi)는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

이들은 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

  • 열린 조밀 부분집합 T\subset M이 존재하여, T(\mathbb C^*)^n위상동형이고, T에 대한 군 작용이 이 위상동형사상 아래 복소수의 곱셈이어야 한다.

복소수체가 아닌 다른 체에 대하여서도 마찬가지로 정의할 수 있다.

부채[편집]

많은 경우, 원환 다양체는 부채(fan)라는 데이터로 표현할 수 있다.

강하게 볼록한 유리 다면뿔(strongly convex rational polyhedral cone) \sigma\subset\mathbb R^n은 다음 성질을 만족하는 부분집합이다.

  • (강하게 볼록함) \sigma\cap-\sigma=\{0\}
  • (곱셈에 대한 닫힘) r\in[0,\infty)이고 v\in\sigma라면 rv\in\sigma
  • (덧셈에 대한 닫힘) u,v\in\sigma라면 u+v\in\sigma.

모든 강하게 볼록한 유리 다면뿔들은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

\sigma=\{\sum_ir_iv_i|v_i\in\mathbb R^n,0\le r_i\}.

다면뿔 \sigma(face)들은 다음과 같은 꼴의 부분집합들이다.

  • l이 1차형식이고, l|\sigma\ge0이라면 \sigma\cap(\ker l).

부채 \Sigma는 다음 성질을 만족하는 강하게 볼록한 유리 다면뿔들의 집합이다.

  • (면에 대한 닫힘) \sigma\in\Sigma이고 \sigma'\sigma의 면 가운데 하나라면, \sigma'\in\Sigma.
  • (교집합에 대한 닫힘) \sigma,\sigma'\in\Sigma라면, \sigma\cap\sigma'\sigma의 면 가운데 하나이고, 또한 \sigma'의 면 가운데 하나이다. (\{0\}은 모든 다면뿔들의 면이다.)

(강하게 볼록한 유리) 다면뿔에 대응하는 원환 다양체는 다음과 같다. 다면뿔 \sigma의 격자점 \sigma\cap\mathbb Z^k들은 덧셈에 대하여 유한생성 모노이드를 이룬다. (여기서 k는 다면뿔 \sigma의 변의 수이다.) 마찬가지로, 다면뿔 \sigma쌍대뿔(dual cone) \sigma^\vee=\{v\colon\langle u,v\rangle\ge0\forall u\in\sigma\}\subset\mathbb C^n 또한 유한생성 모노이드를 이룬다. 쌍대뿔의 기저 \{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_\alpha,\dots,\mathbf v_k\}\subset\mathbb C^n를 잡고, 다음과 같은 사상을 정의하자.

\phi\colon(\mathbb C^*)^n\to\mathbb C^k
\phi\colon(\exp(iz_1),\dots,\exp(iz_i),\dots,\exp(iz_n))\mapsto\left(\exp(i\sum_jz_nv^{(j)}_1),\dots,
\exp(i\sum_jz_jv^{(j)}_\alpha),\dots,\exp(i\sum_jz_jv^{(j)}_k)\right)

다면뿔 \sigma에 대응하는 아핀 원환 다앙체는 \phi을 포함하는 최소 대수다양체 (자리스키 위상에 대한 닫힘)이다.

부채 \Sigma에 대응하는 원환 다양체는 부채에 속한 다면뿔들에 대응하는 아핀 원환 다양체들을 붙여이어 얻는다. 여기서, 같은 면(부분뿔)을 공유하는 두 뿔에 대응하는 두 아핀 원환 다양체들의 경우, 면에 대응하는 부분집합을 서로 이어붙인다.

다면체에 대응하는 원환 다양체[편집]

꼭지점이 격자점 \mathbb Z^n인 볼록 고차 다면체가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 (n-1)차원 면에 대응하는, 안쪽을 향하는 수직 벡터를 생각할 수 있다. 그렇다면, 각 (n-1)차원 면은 이 수직 벡터로 생성되는 1차원 뿔, 두 (n-1)차원 면이 공유하는 (n-2)차원 변은 두 수직 벡터로 생성되는 2차원 뿔 등등을 정의할 수 있다. 이는 부채를 이룬다. 볼록 다면체에 대응되는 원환 다양체는 다면체에 대응하는 부채에 대응하는 원환 다양체다.

원환 다양체가 사영 대수다양체필요충분조건은 원환 다양체를 이와 같이 다면체로부터 정의할 수 있는지 여부다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]