원환 다양체

대수기하학에서, 원환 다양체(toric variety)는 대수적 원환면 $(\mathbb C^*)^n$ 을 조밀하게 포함하여, 그 작용을 다양체 전체에 정의할 수 있는 대수다양체이다.

정의 [편집]

편의상 복소수체 $\mathbb C$ 를 생각하자. 원환 다양체 $(M,\phi)$ 는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

복소수 대수다양체 $M$
군의 작용 $\phi\colon(\mathbb C^*)^m\to\operatorname{Aut}(M)$ ( $\mathbb C^*$ 는 0이 아닌 복소수들의 곱셈군)

이들은 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

열린 조밀 부분집합 $T\subset M$ 이 존재하여, $T$ 가 $(\mathbb C^*)^n$ 과 위상동형이고, $T$ 에 대한 군 작용이 이 위상동형사상 아래 복소수의 곱셈이어야 한다.

복소수체가 아닌 다른 체에 대하여서도 마찬가지로 정의할 수 있다.

많은 경우, 원환 다양체는 부채(fan)라는 데이터로 표현할 수 있다.

강하게 볼록한 유리 다면뿔(strongly convex rational polyhedral cone) $\sigma\subset\mathbb R^n$ 은 다음 성질을 만족하는 부분집합이다.

모든 강하게 볼록한 유리 다면뿔들은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

$\sigma=\{\sum_ir_iv_i|v_i\in\mathbb R^n,0\le r_i\}$ .

다면뿔 $\sigma$ 의 면(face)들은 다음과 같은 꼴의 부분집합들이다.

부채 $\Sigma$ 는 다음 성질을 만족하는 강하게 볼록한 유리 다면뿔들의 집합이다.

(면에 대한 닫힘) $\sigma\in\Sigma$ 이고 $\sigma'$ 가 $\sigma$ 의 면 가운데 하나라면, $\sigma'\in\Sigma$ .
(교집합에 대한 닫힘) $\sigma,\sigma'\in\Sigma$ 라면, $\sigma\cap\sigma'$ 는 $\sigma$ 의 면 가운데 하나이고, 또한 $\sigma'$ 의 면 가운데 하나이다. ( $\{0\}$ 은 모든 다면뿔들의 면이다.)

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