워드-다카하시 항등식

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양자장론에서, 워드-다카하시 항등식(Ward–Takahashi identity)은 뇌터 정리를 일반화한 항등식이다.

역사[편집]

존 클라이브 워드(John Clive Ward)가 1950년에 특수한 형태를 발표하였다.[1] 다카하시 야스시(高橋 康 (たかはし やすし))가 이를 일반화하였다.[2]

정의[편집]

주어진 양자장론이 어떤 전역적(global) 대칭 \delta_\epsilon을 가진다고 하자. 즉,

\delta_\epsilon\left[D\phi\;\exp(iS[\phi])\right]=0

이라고 하자. 여기서 D\phi경로 적분측도이고, \exp(iS)경로 적분볼츠만 인자이고, X는 주어진 연산자이다. 이제, \epsilon을 상수가 아니라 (무한소의) 함수 \epsilon(x)로 놓자. 그렇다면 D\phi\;\exp(iS)의 변분은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 취한다.

\delta_\epsilon\left[D\phi\;\exp(iS[\phi])\right]=D\phi'\;\exp(iS[\phi'])i\int J^\mu\partial_\mu\epsilon\;d^Dx=-D\phi'\;\exp(iS[\phi'])i\int(\partial\cdot J)\epsilon\;d^Dx.

뿐만 아니라, 임의의 연산자 X를 삽입하면 다음과 같다.

\delta_\epsilon\left[D\phi\;X[\phi]\exp(iS[\phi])\right]=-D\phi'\;X[\phi']\exp(iS[\phi'])\int(\partial\cdot J)\epsilon\;d^Dx+D\phi\;(\delta_\epsilon X)\exp(iS[\phi]).

이제 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다.

0=\int X[\phi']\exp(iS[\phi'])\;D\phi'-\int X[\phi]\exp(iS[\phi])\;D\phi
=\int\delta_\epsilon\left[X[\phi]\exp(iS[\phi])\;D\phi\right]
=\langle\delta_\epsilon X\rangle_0-i\int\langle(\partial\cdot J)X\rangle_0\epsilon\;d^Dx.

여기서 \langle\cdots\rangle_0은 시간 순서 진공 기댓값이다. 이를 워드-다카하시 항등식이라고 한다.

워드-다카하시 항등식을 비가환 게이지 대칭에 대하여 일반화할 수 있다. 이를 슬라브노프-테일러 항등식(Slavnov–Taylor identity)이라고 한다.[3][4][5]

참고 문헌[편집]

  1. Ward, John Clive (1950년). An identity in quantum electrodynamics. 《Physical Review》 78 (2): 182–182. doi:10.1103/PhysRev.78.182.
  2. Takahashi, Yasushi (1957년 8월). On the generalized Ward identity. 《Il Nuovo Cimento》 6 (2): 371-375. doi:10.1007/BF02832514.
  3. Slavnov, Andrei A. (1972년 2월 1일). Ward identities in gauge theories. 《Theoretical and Mathematical Physics》 10 (2): 99–104. doi:10.1007/BF01090719.
  4. Taylor, J.C. (1971년 11월 1일). Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field. 《Nuclear Physics B》 33 (2): 436–444. doi:10.1016/0550-3213(71)90297-5.
  5. Slavnov, Andrei A. (2008년 10월 22일). Slavnov–Taylor identities. 《Scholarpedia》 3 (10): 7119. doi:doi:10.4249/scholarpedia.7119.

바깥 고리[편집]