등각 대칭

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

양자장론에서, 등각 대칭(等角對稱, 영어: conformal symmetry)은 양자장론이 가질 수 있는 대칭의 하나이다. 대략, 이 대칭을 가진 이론은 특별한 길이 눈금을 갖지 않고, 모든 길이 눈금이 동등하다. 등각 대칭을 갖는 양자장론등각 장론이라 한다.

정의[편집]

d차원 민코프스키 공간등각 대칭군\operatorname{SO}(d,2)이다. 이는 푸앵카레 군 \operatorname{ISO}(d-1,1)부분군으로 포함한다.

등각 대칭군의 생성원들은 다음과 같다.

  • M_{\mu\nu}: 회전 및 로런츠 변환 (총 d(d-1)/2개), 길이 차원 0
  • P_\mu: 병진 변환 (총 d개), 길이 차원 −1
  • D: 확대 변환 (총 1개, 길이 차원 0)
  • K_\mu: 특수 등각 변환(영어: special conformal transformation, 총 d개, 길이 차원 +1)

이 가운데 M만 남기면 로런츠 군, MP만 남기면 푸앵카레 군이 된다.

등각 대칭군의 리 대수는 다음과 같다.

[D,K_\mu]=-iK_\mu
[D,P_\mu]=iP_\mu
[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu}
[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu )
[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu)
[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})

여기서 \eta_{\mu\nu}는 민코프스키 계량 텐서이다. 나머지 리 괄호들은 모두 0이다.

표현[편집]

등각 대칭은 스칼라장에 대하여 다음과 같이 표현된다.

M_{\mu\nu} \equiv i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)
P_\mu \equiv-i\partial_\mu
D\equiv-ix_\mu\partial^\mu
K_\mu \equiv i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu)

4차원의 경우, 등각 대칭군 \operatorname{SO}(4,2)\sim\operatorname{SU}(2,2)의 모든 양 에너지 유니터리 표현들이 분류되었다.[1][2]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Mack, G. (1977년). All unitary ray representations of the conformal group SU(2,2) with positive energy. 《Communications in Mathematical Physics》 55 (1): 1–96. doi:10.1007/BF01613145. Bibcode1977CMaPh..55....1M. MR0447493. Zbl 0352.22012.
  2. (영어) Knapp, A.W., B. Speh (1982년 1월). Irreducible unitary representations of SU(2, 2). 《Journal of Functional Analysis》 45 (1): 41–73. doi:10.1016/0022-1236(82)90004-0. Zbl 0543.22011.