차원 조절

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
양자장론
Feynmann Diagram Gluon Radiation.svg
파인먼 도형의 예
(전자양전자쌍소멸로 인한 중간자 생성)
대칭
시공간 병진 대칭 · 로런츠 대칭 · 푸앵카레 대칭 · 등각 대칭
이산 대칭 전하 켤레 대칭 (C) · 반전성 (P) · 시간 역전 대칭 (T)
기타 게이지 대칭 · 초대칭
대칭 깨짐 자발 대칭 깨짐 · 골드스톤 보손 · 힉스 메커니즘 · 변칙
도구
기본 개념 전파 인자 · 윅 정리 (표준 순서) · LSZ 축약 공식 · 상관 함수
양자화 정준 양자화 · 경로 적분
산란 이론 산란 행렬 · 만델스탐 변수
섭동 이론 파인먼 도형 · 질량 껍질 · 가상 입자
조절
재규격화
파울리-빌라르 조절 · 차원 조절 · 최소뺄셈방식 · 재규격화군 · 유효 이론 (유효 작용)
게이지 이론 공변미분 · 파데예프-포포프 유령 · BRST 대칭 · 워드-다카하시 항등식
이론
장난감 모형 사승 상호작용 · 콜먼-와인버그 모형 · 시그마 모형 · 베스-추미노 모형
게이지 이론 양자 전기역학 · 양-밀스 이론 · 양자 색역학 · 전기·약 이론 · 표준 모형
대통일 이론 대통일 이론 · 페체이-퀸 이론 · 시소 메커니즘 · 최소 초대칭 표준 모형 · 테크니컬러
학자
초기 학자 위그너 · 마요라나 · 바일
전자기력 디랙 · 슈윙거 · 도모나가 · 파인먼 · 다이슨
강한 상호작용 유카와 · 겔만 · 그로스 · 폴리처 · 윌첵
약한 상호작용 양전닝 · 리정다오 · 난부 · 글래쇼 · 살람 · 와인버그 · 고바야시 · 마스카와 · 힉스 · 앙글레르
재규격화 펠트만 · 엇호프트 · 윌슨
v  d  e  h

양자장론에서, 차원 조절(次元調節, dimensional regularization)이란 발산하는 적분을 임의의 복소 차원으로 해석적 연속하는, 조절의 한 방법이다. 게이지 대칭을 보존하므로, 게이지 이론에서 유용하다. 독특하게도, 로그적 발산보다 더 큰 발산을 숨긴다. 해석적으로 연속할 수 없는, 레비치비타 기호를 포함한 항(강력CP 위반 항 등)에는 적용할 수 없다.

정의[편집]

대부분의 상대론라그랑지언은 임의의 양의 정수 차원에서 쓸 수 있다. (단, 레비치비타 기호 기호 따위는 특정한 차원에서만 쓸 수 있기 때문에 예외다.) 따라서 파인먼 도표를 차원에 대한 함수로 계산할 수 있다. 이렇게 얻어진 함수는 정칙함수이다. 따라서, 임의의 복소 차원 d해석적 연속할 수 있다. 따라서, 파인먼 도표를 d=4 근처에서 테일러 급수로 쓸 수 있다. 이렇게 하면 1/\epsilon=1/(4-d)의 급수로 도표가 발산하는 정도를 나타낼 수 있다. 이를 차원 조절이라고 부른다.

차원 조절로 얻는 식은 모두 로그로 발산한다 (즉, 재규격화 에너지 \Lambda를 포함하여 쓰면, 1/\epsilon으로 나타내어지는 발산은 재규격화 에너지의 로그에 비례한다). 이는 차원 조절이 선형, 이차, 삼차 등의 발산을 숨기기 때문이다. 차원 조절 뒤엔 일반적으로 최소뺄셈방식 또는 수정 최소뺄셈방식으로 재규격화한다.

예제[편집]

예를 들어, 다음과 같이 4차원에서 로그적으로 발산하는 고리 적분을 생각해 보자.

\int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{\left(p^2+m^2\right)^2}

일단, 차원을 4-ε으로 적고, ε을 0으로 보내자. 이렇게 하면 다음을 얻는다.

\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+}\int \frac{dp}{(2\pi)^{4-\varepsilon}} \frac{2\pi^{(4-\varepsilon)/2}}{\Gamma\left(\frac{4-\varepsilon}{2}\right)} \frac{p^{3-\varepsilon}}{\left(p^2+m^2\right)^2}.

이렇게 하면 적분이 수렴하고, 모든 값이 유한하다.

같이 보기[편집]

규칙화에는 여러 방법이 있는데, 차원 조절은 그 중 가장 많이 쓰이는 방법 중 하나이다. 다른 방법으로는 파울리-비야르 조절이나 격자조절 따위가 있다.

참고 문헌[편집]

  • Olness, Fredrick, Randall Scalise (2011년 3월). Regularization, renormalization, and dimensional analysis: Dimensional regularization meets freshman E&M. 《American Journal of Physics》 79 (3): 306. doi:10.1119/1.3535586. arXiv:0812.3578.
  • Leibbrandt, George (1975년 10월). Introduction to the technique of dimensional regularization. 《Reviews of Modern Physics》 47 (4): 849–876. doi:10.1103/RevModPhys.47.849.