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장론에서, 게이지 이론(gauge theory)이란 그 라그랑지안이 국소적으로 대칭인 장론이다. 게이지 이론의 국소적 대칭 변환을 게이지 변환(gauge transformation)이라고 부른다. 게이지 이론의 국소적 대칭은 단순 (또는 반단순) 옹골 리 군을 이룬다. 이 리 군의 리 대수의 각 생성원(generator)은 각각 벡터 장을 이룬다. 이를 게이지 장이라고 한다. 양자장론에서는 각 장에 해당하는 입자가 있는데, 이를 게이지 보존이라고 한다.

고전전자기학이 고전적 게이지 이론의 대표적인 예로, U(1) 대칭을 가진다. 이외에도 고전적 양 밀스 이론 따위가 있다. 양자장론으로는, 표준 모형과 이를 이에 포함된 이론들 (양자전기역학, 양자색역학, 글래쇼 살람 와인버그 이론) 모두 게이지 이론의 일종이다. 예를 들어 양자전기역학은 가환 리군 U(1)을 기반으로 만들어졌고, 양자색역학은 SU(3)으로 만들어졌다.

수학적 정의

게이지 이론은 미분기하학의 올다발 이론으로 정의한다. 게이지 군은 단순 옹골 리군 $G$를 생각하자. 이에 따라, 시공 $M$에 주다발 $P\to M$을 놓자. 여기에 주접속 $A\in\Omega^1(M,\mathfrak g)$ (리대수값을 지닌 1차 미분형식)를 잡는다. 이는 게이지 퍼텐셜을 나타낸다. 그 곡률 $F$은 게이지 장세기 (패러데이 텐서)를 나타낸다.

$F=dA+[A\wedge A]$

여기서 $d$는 외미분이고, $[\wedge A]$는 리괄호와 쐐기곱을 합성한 것이다.

라그랑지안은 게이지 불변인 항만을 포함할 수 있다. 여기서 게이지 불변이라는 것은, 어떤 무한소 게이지 변환 $\epsilon\in\Omega^0(M,\mathfrak g)$에 대하여 다음과 같이 바뀐다는 것이다.

$X\mapsto\delta_\epsilon X=\epsilon X$

장세기 $F$는 게이지 불변이므로, 라그랑지안에 직접적으로 쓸 수 있다. 반면 퍼텐셜 $A$는

$\delta_\epsilon A=[\epsilon,A]-d\epsilon$

이므로 게이지 변환을 따르지 않는다. 다만, 게이지 불변량인 $X=\Omega(M,V)$ (여기서 $V$는 다른 장) 가 있다면, $dX+AX$는 게이지 불변이다. 따라서 공변미분 $D=d+X$는 게이지 불변이다. 이를 이용하여 다른 장 (물질)의 운동항 (및 게이지 장과의 최소결합항)을 적을 수 있다.

이제 이론의 작용을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$S=\frac1{4g^2}\int\operatorname{Tr}[*F\wedge F]$

여기서 $*$는 호지 쌍대(Hodge dual)다. 여기에 변분법을 적용하여 운동방정식을 유도할 수 있다. 만약 $G=U(1)$인 경우는 맥스웰 방정식을 얻고, $G=SU(n)$인 경우는 양-밀스 방정식을 얻는다.

작용에 다른 게이지 불변항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 닫힌 곡선 γ가 있으면, 다음과 같이 윌슨 고리 $W$를 정의할 수 있다.

$W=\chi^{(\rho)}\left(\mathcal{P}\exp\int_\gamma A\right)$

여기서 $\chi$는 복소 군표현의 지표고, $\mathcal{P}$는 경로순서화 연산자다. 그러니 이런 항은 일반적인 시공에서는 대개 로렌츠 대칭성을 따르지 않는다. 칼루차-클라인 이론에서는 옹골화된 차원에 따라 이런 항을 적을 수 있다.