스핀C 다양체

미분기하학에서 스핀C 다양체(spin多樣體, 영어: spin^c manifold)는 그 직교 틀다발이 스핀C 군에 대한 주다발로의 올림을 갖춘 준 리만 다양체이다. 스핀C 구조는 자이베르그-위튼 방정식 등을 정의하기 위한 필요 조건이다.

정의

스핀C 구조(spin^c structure)의 정의는 스핀 구조의 정의와 유사하지만, 스핀 군 대신 스핀C 군을 사용한다.

즉, $n$차원 가향 준 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 스핀C 구조(영어: spin^c structure)는 다음 조건을 따르는 Spin(n)^c-주다발 $\pi _{\operatorname {Spin^{c}} }\colon P_{\operatorname {Spin^{c}} }(M)\twoheadrightarrow M$과 주다발 사상 $p\colon P_{\operatorname {Spin^{c}} }(M)\to P_{\operatorname {SO} }(M)$으로 구성된다.

• $\pi _{\operatorname {SO} }\circ p=\pi _{\operatorname {Spin^{c}} }$
• 임의의 $x\in P_{\operatorname {Spin^{c}} }$, $h\in \operatorname {Spin^{c}} (n)$에 대하여 $p(x\cdot h)=p(x)\cdot \rho (h)$이다. (여기서 $\cdot$은 적절한 군의 작용이며, $\rho \colon \operatorname {Spin^{c}} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)$은 군 준동형이다.) 즉 군의 작용은 $p$와 가환한다.

성질

매끄러운 다양체 $M$ 위에 스핀C 구조가 존재할 필요 충분 조건은 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류

$W_{3}(M)=\beta w_{2}(M)\in \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )$

가 0인지 여부이다. 여기서 $\beta$는 복시테인 준동형

$\beta \colon \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} /2)\to \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )$

이다.

분류

만약 다양체 $M$ 위에 스핀C 구조가 존재할 수 있다면, 가능한 스핀C 구조들의 공간은 $\operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} )$ 위의 아핀 공간이다.

이는 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 아벨 군의 짧은 완전열

$0\to \mathbb {Z} {\stackrel {\cdot 2}{\hookrightarrow }}\mathbb {Z} {\stackrel {+2\mathbb {Z} }{\twoheadrightarrow }}\mathbb {Z} /2\to 0$

을 생각하자. 이에 따라, 지그재그 보조정리를 사용하여 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

$\dotsb \to \operatorname {H} ^{2}(M,\mathbb {Z} ){\xrightarrow {\cdot 2}}\operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} ){\xrightarrow {\bmod {2}}}\operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} /2){\xrightarrow {\beta }}\operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )\to \cdots$

여기서 $\beta$는 복시테인 준동형이다.

스핀C 구조는 원래 방해물(obstruction)에 막혀 스핀 구조를 이루지 못하는 구조를, 같은 방해물에 막혀 U(1) 주다발을 이루지 못하는 구조로 뒤틀어(twist) 만든 것이다. U(1) 주다발들은 그 천 특성류 $c_{2}\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )$에 의하여 분류된다. 이는 위 긴 완전열에서 첫 $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$에 해당하며, 이는 두 번째 $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$에서 $\cdot 2$의 상에 해당한다. 반면, 방해물에 막힌 U(1) ‘주다발’은 두 번째 $H^{2}(M,\mathbb {Z} )$에서 $\cdot 2$의 상에 속하지 않은 원소들이다. 이 원소를 $\alpha \in H^{2}(M;\mathbb {Z} )$라고 하자. 스핀 구조의 방해물은 2차 슈티펠-휘트니 특성류 $w_{2}\in H^{2}(M;\mathbb {Z} /2)$이므로, 이 방해물이 U(1) ‘주다발’의 방해물 $\alpha$와 같으려면 ${\bmod {2}}$에 따른 $\alpha$의 상이 $w_{2}$이어야 한다. 완전열의 성질에 의하여, 이 조건은 $w_{2}$의 복시테인 준동형에 따른 상 $\beta w_{2}=W_{3}\in \operatorname {H} ^{3}(M,\mathbb {Z} )=0$인 조건과 동치이다.

예

다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀C 구조를 갖는다.

• 모든 4차원 이하 콤팩트 유향 다양체는 스핀C 구조를 갖는다.
• 모든 개복소 다양체는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 복소수 선다발은 복소수 접다발 $\mathrm {T} ^{+}M$의 행렬식 선다발 $\textstyle \bigwedge ^{\dim _{\mathbb {C} }M}\mathrm {T} ^{+}M$이다.
• 모든 스핀 다양체는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 복소수 선다발은 자명한 다발이다.

외부 링크

• “Spin^c structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Twisted spin^c structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Spin^c”. 《nLab》 (영어). 
• “Spin^c Dirac operator”. 《nLab》 (영어).