딸림표현

리 군론에서 딸림표현(-表現, 영어: adjoint representation)은 어떤 리 군이 스스로의 리 대수 위에 가지는 표준적인 표현이다.

정의

리 군 $G$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

$\phi \colon G\to \operatorname {Aut} (G)$

$\phi \colon g\mapsto \phi _{g}$

$\phi _{g}\colon h\mapsto ghg^{-1}\qquad (g,h\in G)$

이제, 그 원점 $1\in G$에서의 밂을 취하자.

$\mathrm {D} _{1}(\phi _{g})\colon \mathrm {T} _{1}G\to \mathrm {T} _{1}G$

이제, $\mathrm {T} _{1}G={\mathfrak {g}}$는 리 대응 아래 $G$에 대응하는 리 대수이며, $\mathrm {D} _{1}(\phi _{g})\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$는 리 대수의 자기 준동형이다. 즉, 이는 사상

$\operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})$

를 정의한다. 특히, 만약 ${\mathfrak {g}}$의 리 대수 구조를 잊고 단순히 실수 벡터 공간으로 간주한다면, 이는 $G$의 유한 차원 실수 표현을 이룬다. 이를 리 군 $G$의 딸림표현이라고 한다.

리 대수의 딸림표현

임의의 가환환 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 사상

$\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})\subseteq \operatorname {End} _{K}({\mathfrak {g}})$

$\operatorname {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]$

은 ${\mathfrak {g}}$의, 스스로 위의 리 대수 미분의 리 대수로 가는 리 대수 준동형이며, 특히 ${\mathfrak {g}}$의 표현으로 여겨질 수 있다. 이를 ${\mathfrak {g}}$의 딸림표현이라고 한다.

성질

리 군 $G$의 (리 대응 아래 대응하는) 리 대수가 ${\mathfrak {g}}$라고 하자. 그렇다면, 그 리 군 딸림표현

$\operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})$

의, 원점 $1\in G$에서의 밂을 취하자.

$\mathrm {T} _{1}\operatorname {Ad} \colon \mathrm {T} _{1}G\to \mathrm {T} _{0}\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})$

그런데

$\mathrm {T} _{1}G={\mathfrak {g}}$

$\mathrm {T} _{0}\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})={\mathfrak {der}}({\mathfrak {g}})$

이며,

$\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}=\mathrm {D} _{1}\operatorname {Ad} _{G}$

임을 보일 수 있다.

예

리 대응 아래, 아벨 리 군 $G$의 리 대수는 모든 리 괄호가 0인 벡터 공간이다. 이 경우, $G$의 딸림표현은 항등 함수로 가는 상수 함수이다.

외부 링크

• “Adjoint representation of a Lie group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Adjoint action”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Adjoint representation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Adjoint representation”. 《nLab》 (영어). 
• “Adjoint action”. 《nLab》 (영어). 
• “Adjoint bundle”. 《nLab》 (영어).