군 표현의 지표

군 표현론에서, 군 표현의 지표(指標, 영어: character 캐릭터^[*])는 공액류에 대한, 표현 행렬의 대각합인 함수이다.

정의

$G$가 군이고, $V$가 체 $k$에 대한 벡터 공간이고, $\rho\colon G\to\operatorname{GL}(V)$가 군 표현이라고 하자. $G$의 공액류의 집합을 $[G]$로 쓰자. 그렇다면 표현 $\rho$의 지표 $\chi_\rho\colon[G]\to k$는 다음과 같은 함수다.

$\chi_\rho([g])=\operatorname{tr}\rho(g)$. ($g\in G$, $[g]\in G$는 $g$의 공액류)

성질

표현 $\rho$의 차원은 $\dim\rho=\chi_\rho(1)$이다.

지표는 군 표현의 직합과 텐서곱을 준수한다. 즉,

$\chi_{\rho\oplus\sigma}=\chi_\rho+\chi_\sigma$

$\chi_{\rho\otimes\sigma}=\chi_\rho\chi_\sigma$

이다.

표현의 텐서 제곱 $\rho\otimes\rho$는 다음과 같이 대칭 및 반대칭 성분으로 분해할 수 있다.

$\rho\otimes\rho=\operatorname{Sym}^2(\rho)+\rho\wedge\rho$.

이 경우,

$\chi_{\rho\wedge\rho}(g)=\frac12\left((\chi_\rho)^2(g)-\chi_\rho(g^2)\right)$

$\chi_{\operatorname{Sym}^2(\rho)}(g)=\frac12\left((\chi_\rho)^2(g)+\chi_\rho(g^2)\right)$

이다.

복소 벡터공간 위 표현의 경우, 다음이 성립한다.

$\chi_{\rho^*}=\bar\chi_\rho$.

여기서 $\rho^*$는 복소 표현의 행렬 원소들의 (전치 없는) 복소켤레 표현이고, $\bar\chi_\rho$는 $\chi_\rho$의 복소켤레이다.

역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 유한군의 지표론을 제창하였다. 이는 군 표현이 정의되기 이전이었고, 군 표현론의 시초로 여겨진다.

참고 문헌

• Isaacs, I.M. (1994). 《Character Theory of Finite Groups》. Dover. ISBN 0-486-68014-2
• James, Gordon, Martin Liebeck (2001). 《Representations and Characters of Groups》, 2판, Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X
• Serre, Jean-Pierre (1977). 《Linear Representations of Finite Groups》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6

바깥 고리

• (영어) Todd Rowland, Eric Wolfgang Weisstein. Character table. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Group character. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.