킬링 형식

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리 군 이론에서, 킬링 형식(Killing form)은 리 대수 위에 자연스럽게 존재하는 일종의 계량 텐서다. 리 대수의 딸림표현의 곱의 대각합이다.

정의[편집]

\mathfrak g리 대수라고 하자. \operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{End}(\mathfrak g)가 그 딸림표현이라고 하자. 그렇다면 킬링 형식 K\colon\mathfrak g\to\mathfrak g^*는 다음과 같다.

K(a,b)=\operatorname{tr}\left(\operatorname{ad}(a)\operatorname{ad}(b)\right).

여기서 대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

성질[편집]

킬링 형식은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.

K([x,y],z)=K(x,[y,z]).

또한, 만약 \mathfrak g가 단순 리 대수라면 위 항등식을 만족하는 모든 형식은 킬링 형식의 스칼라배이다.

리 대수가 반단순(semisimple)할 필요충분조건은 그 킬링 형식이 비퇴화 형식(nondegenerate)인 것이다. 이를 카르탕 조건(Cartan criterion)이라고 한다.

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행렬군의 경우, 킬링 형식은 다음과 같다.

리 대수 설명 킬링 형식
gl(n, ℂ) n×n 복소 행렬 2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y)
sl(n, ℝ) n×n 무대각합 복소 행렬 2n tr(XY)
su(n) n×n 반에르미트 행렬 2n tr(XY)
so(n, ℝ) n×n 반대칭 실수 행렬 (n−2) tr(XY)
so(n, ℂ) n×n 반대칭 복소 행렬 (n−2) tr(XY)
sp(2n, ℝ) 2n×2n 실수 해밀턴 행렬 (2n+2) tr(XY)
sp(2n, ℂ) 2n×2n 복소 해밀턴 행렬 (2n+2) tr(XY)

리 대수의 계량과 이중 콕서터 수[편집]

단순 리 대수의 경우, 통상적으로 계량을 긴 근의 길이가 \sqrt2가 되게 규격화한다.[1]:27[2]:§13.1.10 이 경우 짧은 근의 길이는 Bn, Cn, F4인 경우 1 또는 G2의 경우 \sqrt{2/3}이다. 이렇게 규격화할 경우, 계량 형식은 다음과 같다.[3]

리 대수 행렬 표현 규격화 계량 형식
su(n) n×n 반에르미트 행렬 − tr(XY)
so(n, ℝ) n×n 반대칭 행렬 − ½tr(XY)
usp(2n) 2n×2n 반에르미트 해밀턴 행렬 − tr(XY)
n×n 사원수 반에르미트 행렬 − tr(XY + YX)
e6 27×27 반에르미트 행렬 − (9/4) tr(XY)
e7 56×56 반대칭 행렬 − (3/2) tr(XY)
e8 248×248 반대칭 행렬 − (41/10) tr(XY)
f4 26×26 반대칭 행렬 − (4/3) tr(XY)
g2 7×7 반대칭 행렬 − (5/8) tr(XY)

이렇게 계량 형식을 규격화하면, 임의의 연속함수 f\colon S^3\to G에 대하여 항상


\frac1{48\pi}\int_G\langle g^{-1}dg,[g^{-1}dg,g^{-1}dg]\rangle\in\mathbb Z

이다.[3]

이렇게 규격화한 계량 형식을 \langle\cdot,\cdot\rangle로 놓으면,

K=-2h^\vee\langle\cdot,\cdot\rangle

이다.[4]:§6.1[2]:§13.1.2 여기서 h^\vee는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(영어: dual Coxeter number)이다. (이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다.) 이는 다음 표와 같다.

리 대수 an bn cn dn e6 e7 e8 f4 g2
다른 이름 SU(n+1) SO(2n+1) USp(2n) SO(2n)
이중 콕서터 수 n+1 2n−1 n+1 2n−2 12 18 30 9 4

역사[편집]

엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다.[5] 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 땄다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Slansky, R. (1981년 12월). Group theory for unified model building. 《Physics Reports》 79 (1): 1–128. doi:10.1016/0370-1573(81)90092-2. Bibcode1981PhR....79....1S. ISSN 0370-1573.
  2. Di Francesco, Philippe, Pierre Mathieu, David Sénéchal (1997년). 《Conformal field theory》. doi:10.1007/978-1-4612-2256-9. ISBN 978-1-4612-7475-9
  3. Hori, Kentaro. Some notes on compact Lie groups.
  4. Kac, Victor G. (1990년). 《Infinite Dimensional Lie Algebras》, 3판. doi:10.1017/CBO9780511626234. ISBN 9780521466936
  5. Cartan, Élie (1894). 《Sur la structure des groupes de transformations finis et continus》, Thesis. Nony
  • (영어) Bump, Daniel (2004년). 《Lie Groups》, Graduate Texts In Mathematics 225. Springer. ISBN 978-0-387-21154-1
  • (영어) Fuchs, Jurgen (1992년). 《Affine Lie Algebras and Quantum Groups》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X