분류 공간

대수적 위상수학에서 분류 공간(分流空間, 영어: classifying space)는 어떤 위상군을 올로 하는 모든 주다발들을 호모토피류들로 나타낼 수 있는 올다발이다.

정의[편집]

$G$ 가 위상군이라고 하자. 어떤 $G$ -주다발 $\pi \colon \mathrm {E} G\to \mathrm {B} G$ 이 주어졌을 때, 임의의 위상 공간 $X$ 및 연속 함수 $X\to \mathrm {B} G$ 에 대하여, $G$ -주다발 $\pi ^{*}\mathrm {E} G\to X$ 를 당겨서 정의할 수 있다.

만약 임의의 위상 공간 $X$ 에 대하여, $X$ 위에 존재하는 $G$ -주다발 $E\to X$ 는 연속 함수 $\phi \colon X\to \mathrm {B} G$ 의 호모토피류 $[\phi ]$ 들과 위와 같은 사상을 통해 일대일 대응한다면, $\pi \colon \mathrm {E} G\to \mathrm {B} G$ 를 $G$ 의 분류 공간이라고 한다.

이 경우, $\mathrm {B} G$ 를 $G$ 의 분류 공간, $\mathrm {E} G$ 를 $G$ 의 전체 분류 공간(영어: total classifying space)이라고 한다. 즉, $G$ -주다발들은 $G$ 의 분류 공간을 공역으로 하는 호모토피류들과 일대일 대응한다.

성질[편집]

주어진 위상 공간의 분류 공간은 호모토피 동치 아래 유일하다.

두 위상군의 직접곱의 분류 공간은 각 위상군의 분류 공간의 곱공간(과 호모토피 동치)이다.

B(G_{1}\times G_{2})\simeq BG_{1}\times BG_{2}

벡터 다발의 경우, 항상 리만 계량 (또는 에르미트 계량)을 줘 그 구조군 O(n) (실수 벡터 다발의 경우) 또는 U(n) (복소수 벡터 다발의 경우)의 주다발로 나타낼 수 있다. 따라서 벡터 다발은 그 구조군의 분류 공간으로 분류된다.

예[편집]

군 $G$	분류 공간 $\mathrm {B} G$	전체 공간 $\mathrm {E} G$
아벨 군 $\mathbb {Z}$	원 $S^{1}$	$\mathbb {R}$
순환군 $\mathbb {Z} /(n)$	무한 차원 렌즈 공간 $L^{\infty }(n)=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}$	무한 차원 초구 $S^{\infty }$
$\mathbb {Z} /(2)$	무한 차원 실수 사영 공간 $\mathbb {RP} ^{\infty }$	무한 차원 초구 $S^{\infty }$
n개의 생성원의 자유군 $\langle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}\rangle$	n개의 원들의 쐐기합 $\bigwedge ^{n}S^{1}$
유니터리 군 U(n)	복소수 그라스만 다양체 $\operatorname {Gr} (n,\infty ;\mathbb {C} )$	그라스만 다양체의 보편 다발(tautological bundle)
원군 U(1)	무한 차원 복소 사영 공간 $\mathbb {C} P^{\infty }$	무한 차원 초구 $S^{\infty }$
직교군 O(n)	실수 그라스만 다양체 $\operatorname {Gr} (n,\infty ;\mathbb {R} )$	그라스만 다양체의 보편 다발(tautological bundle)