분류 공간

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대수적 위상수학에서, 분류 공간(分流空間, 영어: classifying space)는 어떤 위상군로 하는 모든 주다발들을 호모토피류들로 나타낼 수 있는 올다발이다.

정의[편집]

G위상군이라고 하자. 올다발 \pi\colon EG\to BG가 다음 성질을 만족한다고 하자.

임의의 위상공간 X 위에 존재하는 G-주다발 E\to X연속함수 \phi\colon X\to BG호모토피류 [\phi]와 다음과 같이 일대일 대응한다.
E=\phi^*X
여기서 \phi^*는 다발의 당김이다.

이 경우, BGG분류 공간, EGG전체 분류 공간이라고 한다. 즉, G-주다발들은 G의 분류 공간을 공역으로 하는 호모토피류들과 일대일 대응한다.

성질[편집]

분류 공간은 다음을 만족한다.

B(G_1\times G_2)=BG_1\times BG_2

벡터다발의 경우, 항상 리만 계량 (또는 에르미트 계량)을 줘 그 구조군 O(n) (실수 벡터다발의 경우) 또는 U(n) (복소 벡터다발의 경우)의 주다발로 나타낼 수 있다. 따라서 벡터다발은 그 구조군의 분류 공간으로 분류된다.

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G 분류 공간 BG 전체 공간 EG
아벨 군 \mathbb Z S^1 \mathbb R
순환군 \mathbb Z/(n) 무한 차원 렌즈 공간 L^\infty(n)=S^\infty/\mathbb Z_n 무한 차원 초구 S^\infty
\mathbb Z/(2) 무한 차원 실수 사영 공간 \mathbb{RP}^\infty 무한 차원 초구 S^\infty
n개의 생성원의 자유군(free group) n개의 들의 쐐기합 \bigwedge^nS^1
유니터리 군 U(n) 복소 그라스만 공간 \operatorname{Gr}(n,\infty;\mathbb C) 그라스만 공간의 자명 다발(tautological bundle)
원군 U(1) 무한 차원 복소 사영공간 \mathbb CP^\infty 무한 차원 초구 S^\infty
직교군 O(n) 실수 그라스만 공간 \operatorname{Gr}(n,\infty;\mathbb R) 그라스만 공간의 자명 다발(tautological bundle)

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]