직교군

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군론에서, 직교군(直交群, 영어: orthogonal group)은 주어진 에 대한 직교행렬리 군이다.

정의[편집]

F라고 하자. 직교군 \operatorname{O}(n;F)는 다음과 같은 일반선형군 \operatorname{GL}(n;F)의 부분군이다.

\operatorname{O}(n;F)=\{M\in\operatorname{GL}(n;F)\colon MM^{\operatorname T}=1\}.

이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 F에 대한 대수군이다.

특수직교군[편집]

직교군에서 순환군 \mathbb Z/2\mathbb Z로 가는 다음과 같은 군 준동형사상 D가 존재한다.

D\colon M\mapsto\operatorname{rank}(1-M)\pmod 2.

이 준동형사상을 딕슨 불변량(영어: Dickson invariant)이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식 \det\colon\operatorname{O}(n,F)\to\{\pm1\}과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)

특수직교군(特殊直交群, 영어: special orthogonal group) \operatorname{SO}(n;F)는 딕슨 불변량의 이다.

\operatorname{SO}(n;F)=\ker D=\operatorname{O}(n;F)/(\mathbb Z/2\mathbb Z).

즉, 딕슨 불변량이 0인 직교행렬의 리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.

1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{O}(n,F)\to\operatorname{SO}(n,F)\to1.

성질[편집]

실수 직교군[편집]

실수 직교군 \operatorname{O}(n;\mathbb R)n(n-1)/2차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 두 개의 연결 성분을 가지며, 이들은 각각 행렬식 \det M=\pm1인 실수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분들은 연결공간인 실수 특수직교군 \operatorname{SO}(n;\mathbb R)를 이룬다.

실수 (특수)직교군의 기본군은 다음과 같다.

\pi_n(\operatorname{SO}(n;\mathbb R))=\begin{cases}1&n=1\\\mathbb Z&n=2\\\mathbb Z/2&n>2\end{cases}

이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면 n=2에서는 \mathbb R를, n>2에서는 스핀 군 \operatorname{Spin}(n)을 얻는다.

복소 직교군[편집]

복소 직교군 \operatorname O(n;\mathbb C)은 복소 n(n-1)/2차원(실수 n(n-1)차원)의 복소 리 군이자 대수군이다. n\ge2인 경우, 복소 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이 \det M=\pm1인 복소 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분들은 복소 특수직교군 \operatorname{SO}(n;\mathbb C)를 이룬다.

유한체 직교군[편집]

유한체 \mathbb F_q에 대해서도 직교군을 정의할 수 있다 (q=p^k, p 소수). 이 경우, 표수 p가 2가 아닌 경우, 그 크기는 다음과 같다.

|\mathrm{O}(2n+1;\mathbb F_q)|=2q^n\prod_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})
|\mathrm{O}(2n;\mathbb F_q)|=\begin{cases}2(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})&\exists x\in\mathbb F_q\colon x^2=-1\\
2(q^n+(-1)^{n+1})\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})&\nexists x\in\mathbb F_q\colon x^2=-1\\
\end{cases}

만약 n=1인 경우 (q=p), −1이 제곱수라는 조건은 −1이 제곱잉여라는 조건이다. 이는 이차상호법칙에 따라서 p\equiv1\pmod4라는 조건과 동치이다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]