직교군

군론에서, 직교군(直交群, orthogonal group)은 주어진 체에 대한 직교행렬의 리 군이다.

정의

$F$가 체라고 하자. 직교군 $\operatorname{O}(n,F)$는 다음과 같은 일반선형군 $\operatorname{GL}(n,F)$의 부분군이다.

$\operatorname{O}(n,F)=\{M\in\operatorname{GL}(n,F)\colon MM^{\operatorname T}=1\}$.

특수직교군

직교군에서 순환군 $\mathbb Z/2\mathbb Z$로 가는 다음과 같은 군 준동형사상 $D$가 존재한다.

$D\colon M\mapsto\operatorname{rank}(1-M)\pmod 2$.

이 준동형사상을 딕슨 불변량(Dickson invariant)이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식 $\det\colon\operatorname{O}(n,F)\to\{\pm1\}$과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)

특수직교군(特殊直交群, special orthogonal group) $\operatorname{SO}(n,F)$는 딕슨 불변량의 핵이다.

$\operatorname{SO}(n,F)=\ker D=\operatorname{O}(n,F)/(\mathbb Z/2\mathbb Z)$.

즉, 딕슨 불변량이 0인 직교행렬의 리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.

$1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{O}(n,F)\to\operatorname{SO}(n,F)\to1$.

바깥 고리

• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Orthogonal group. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

같이 보기

• 스핀 군
• 직교행렬