위상 양자장론

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물리학수학에서, 위상 양자장론(位相量子場論, 영어: topological quantum field theory, 약자 TQFT)은 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론이다. 입자 물리학끈 이론, 응집물질물리학대수적 위상수학, 매듭 이론에서 쓰인다.

정의[편집]

대부분의 양자장론은 그 관측가능량(상관 함수 등)이 시공간계량 텐서(중력장)에 의존한다. 관측가능량이 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론을 위상 양자장론이라고 한다.

오늘날 알려진 위상 양자장론은 시바르츠형(Schwarz-type)과 위튼형(Witten-type) ( 또는 코호몰로지형 영어: cohomological) 크게 두 종류가 있다.

시바르츠형 위상 양자장론[편집]

시바르츠형 위상 양자장론계량 텐서를 포함하지 않는 작용으로 나타내어진다.[1] d차원 시공간에서, d미분형식을 적분하려면 계량 텐서가 필요하지 않다. 따라서 미분형식을 장으로 하는 이론을 적을 수 있다. 이런 모형에는 천-사이먼스 이론BF 모형 등이 있다.

알베르트 시바르츠가 1977년에 최초의 시바르츠형 위상 양자장론을 발표하였고,[2] 다음과 같은 꼴이다.

S=\int_MA\wedge dA.

여기서 A는 1차 미분형식이고, M은 3차원 시공간이다. 이 모형을 비아벨 게이지 대칭에 대하여 일반화하면 천-사이먼스 이론을 얻는다.

위튼형 위상 양자장론[편집]

위튼형 위상 양자장론은 일반적으로 계량 텐서를 포함하는 이론에 위상 뒤틀림(topological twist)을 가하여 만든다.[3]

에드워드 위튼이 1988년 최초의 예를 발표하였다.[4] 위튼은 4차원 N=2 초대칭 게이지 이론에 위상 뒤틀림을 가하여, 이 이론이 도널드슨 이론의 위상적 불변량을 재현함을 보였다.

시바르츠형 위상 양자장론은 특성류를 기반으로 하여, 일반적인 (위상) 다양체 위에 정의할 수 있지만, 위튼형 위상 양자장론은 그 미분다양체 구조를 필요로 한다. 즉, 서로 위상동형이지만 다른 미분 구조를 가진 두 미분다양체를 위튼형 위상 양자장론으로 구별할 수 있다.

d차원 위튼형 위상 양자장론푸앵카레 대칭의 표현을 갖춘 힐베르트 공간 \mathcal H와, 다음과 같은 두 연산자 Q,G_\mu로 구성된다.[5]:63–66

\{Q,Q\}=\{G_\mu,G_\nu\}=0
\{Q,G_\mu\}=P_\mu

여기서 P_\mu는 병진(translation) 대칭의 생성원이다. 이 두 연산자 Q,G_\mu는 스칼라/벡터 "초대칭"으로 생각할 수 있다. (일반적인 초대칭 연산자는 스칼라나 벡터가 아니라 스핀 ½의 스피너이다.) 또한, 진공 상태 |0\rangleQ에 대하여 불변이라고 하자 (즉, 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않는다).

Q|0\rangle=0

그렇다면 QBRST 연산자로 생각하여, 물리적 힐베르트 공간 \mathcal H_\text{phys}Q에 대한 코호몰로지로 정의한다.

\mathcal H_\text{phys}=H_Q(\mathcal H)=\ker Q/\operatorname{im}Q

또한, \mathcal H 위의 연산자들에 대해서도 [Q,\cdot\}에 대한 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우, 관측 가능량들의 공간은 Q에 대한 연산자 코호몰로지이다. 즉, 물리적인 관측 가능량은 Q에 대하여 닫혀 있다.

주어진 물리적 스칼라 연산자 O^{(0)}에 대하여, G_\mu를 가해 다음과 같은 연산자들을 추가로 정의할 수 있다.

O^{(i+1)}=[G,O^{(i)}]

O^{(i)}i미분형식을 이루며, 다음과 같은 내림 방정식(영어: descent equation)을 만족시킨다. 이는 야코비 항등식으로부터 유도할 수 있다.

dO^{(i)}=[Q,O^{(i+1)}]

따라서 i>0의 경우, O^{(i)}Q에 대하여 닫혀 있지 않고, 관측 가능량을 이루지 않는다. 다만, 시공간 M의 임의의 i호몰로지 C_i\in H_i(M;\mathbb Z)에 대하여 모자곱을 취하면 이는 관측 가능량을 이루게 된다. 즉,

\int_{C_i}O^{(i)}

은 관측 가능량이다. 따라서, 다음과 같은 꼴의 상관 함수들을 계산할 수 있다.

\left\langle\cdots\int_{C_i}O^{(i)}\cdots\right\rangle

이는 도널드슨 이론에서 도널드슨 불변량으로 해석하게 된다.

야티야 공리계[편집]

마이클 아티야는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위하여 다음과 같은 공리계를 제안하였다.[6] 이에 따라, d+1차원 위상 양자장론은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다.

  1. (함자성)
    1. (공간 대칭의 작용) 임의의 을 보존시키는 미분동형사상 f\colon Y\to Y'에 대하여, 벡터공간의 동형사상 E(f)\colon E(Y)\to E(Y')가 존재한다.
    2. (시공간 대칭의 작용) 또한, 임의의 및 경계를 보존시키는 미분동형사상 g\colon X\to X'에 대하여, E(f|_{\partial X})\colon Z(X)\mapsto Z(X')이다.
  2. (대합성) -YY에 반대 을 준 유향다양체라고 한다면, E(-Y)=E(Y)^*이다. 여기서 V^*V쌍대공간이다.
  3. (승법성)
    1. (상태 공간의 승법성) E(Y\sqcup Y')=E(Y)\otimes E(Y')
    2. (짜깁기 법칙 영어: sewing law) \partial X_1=Y_1\sqcup Y_3, \partial X_2=Y_2\sqcup-Y_3이라면, X_1X_2Y_3으로 이어붙여 X=X_1\cup X_2, \partial X=Y_1\sqcup Y_2를 만들 수 있다. 이 경우, Z(X)=\langle Z(X_1),Z(X_2)\rangle이다. 여기서 \langle\cdot,\cdot\rangle\colon E(Y_1)\otimes E(Y_3)\otimes E(Y_3)^*\otimes E(Y_2)\to E(Y_1)\otimes E(Y_2)E(Y_3)의 내적이다.
  4. (비자명성)
    1. (상태 공간의 비자명성) E(\varnothing)=\mathbb C이다.
    2. (경로 적분의 비자명성) Z(\varnothing)=1이다.
    3. (시간 변화) Z(Y\times[0,1])=\operatorname{Id}_{E(Y)}\in E(Y)\otimes E(Y)^*이다. 여기서 [0,1]은 닫힌 구간이고, \operatorname{Id}_{E(Y)}\colon E(Y)\to E(Y)E(Y)항등함수다.

일반적인 양자역학과 달리, 위상 양자장론의 상태 공간 E(Y)에는 내적이 일반적으로 주어져 있지 않다. 일반적으로, 양자역학에서는 관측가능량해밀토니언을 정의하기 위하여 에르미트 연산자의 개념이 필요하고, 이를 정의하려면 상태공간과 그 쌍대공간의 동형사상 E(Y)\cong E^*(Y)이 필요하다. 그러나 위상 양자장론에서는 해밀토니언이 항상 0이므로 이 개념이 필요없다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Kaul, R. K., T. R. Govindarajan, P. Ramadevi (2005년). Schwarz type topological quantum field theories. arXiv:hep-th/0504100. Bibcode2005hep.th....4100K.
  2. (영어) Schwarz, Albert (1978년 1월). The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants. 《Letters in Mathematical Physics》 2 (3): 247–252. doi:10.1007/BF00406412. Bibcode1978LMaPh...2..247S. Zbl 0383.70017.
  3. (영어) Witten, Edward (1991년 7월 10일). Introduction to cohomological field theories. 《International Journal of Modern Physics A》 6 (16): 2775–2792. doi:10.1142/S0217751X91001350. Bibcode1991IJMPA...6.2775W. ISSN 0217-751X.
  4. (영어) Witten, Edward (1988년). Topological quantum field theory. 《Communications in Mathematical Physics》 117 (3): 353–386. doi:10.1007/BF01223371. Bibcode1988CMaPh.117..353W. MR953828.
  5. (영어) Dijkgraaf, Robbert (1997년 3월). Les Houches lectures on fields, strings and duality. arXiv:hep-th/9703136. Bibcode1997hep.th....3136D.
  6. (영어) Atiyah, Michael (1988년 1월). Topological quantum field theories. 《Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 68 (1): 175–186. doi:10.1007/BF02698547. MR1001453. Zbl 0692.53053. ISSN 0073-8301.
  7. 일부 경우, 실수유한체에 대한 벡터공간도 사용 가능하다.

같이 보기[편집]