위상 양자장론

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물리학수학에서, 위상 양자장론(位相量子場論, 영어: topological quantum field theory, 약자 TQFT)은 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론이다. 입자 물리학끈 이론, 응집물질물리학대수적 위상수학, 매듭 이론에서 쓰인다.

정의[편집]

대부분의 양자장론은 그 관측가능량(상관 함수 등)이 시공간계량 텐서(중력장)에 의존한다. 관측가능량이 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론을 위상 양자장론이라고 한다.

오늘날 알려진 위상 양자장론은 시바르츠형(Schwarz-type)과 코호몰로지형(영어: cohomological, 또는 위튼형 Witten-type)) 크게 두 종류가 있다.

시바르츠형 위상 양자장론[편집]

시바르츠형 위상 양자장론계량 텐서를 포함하지 않는 작용으로 나타내어진다.[1] d차원 시공간에서, d미분형식을 적분하려면 계량 텐서가 필요하지 않다. 따라서 미분형식을 장으로 하는 이론을 적을 수 있다. 이런 모형에는 천-사이먼스 이론BF 모형 등이 있다.

알베르트 시바르츠가 1977년에 최초의 시바르츠형 위상 양자장론을 발표하였고,[2] 다음과 같은 꼴이다.

S=\int_MA\wedge dA.

여기서 A는 1차 미분형식이고, M은 3차원 시공간이다. 이 모형을 비아벨 게이지 대칭에 대하여 일반화하면 천-사이먼스 이론을 얻는다.

코호몰로지형 위상 양자장론[편집]

코호몰로지형 위상 양자장론 또는 위튼형 위상 양자장론은 일반적으로 계량 텐서를 포함하는 이론에 위상 뒤틂(topological twist)을 가하여 만든다.[3]

에드워드 위튼이 1988년 최초의 예를 발표하였다.[4] 위튼은 4차원 N=2 초대칭 게이지 이론에 위상 뒤틂을 가하여, 이 이론이 도널드슨 불변량을 재현함을 보였다.

시바르츠형 위상 양자장론은 특성류를 기반으로 하여, 일반적인 (위상) 다양체 위에 정의할 수 있지만, 코호몰로지형 위상 양자장론은 그 미분다양체 구조를 필요로 한다. 즉, 서로 위상동형이지만 다른 미분 구조를 가진 두 미분다양체를 코호몰로지형 위상 양자장론으로 구별할 수 있다.

d차원 코호몰로지형 위상 양자장론푸앵카레 대칭의 표현을 갖춘 힐베르트 공간 \mathcal H와, 다음과 같은 두 연산자 Q,G_\mu로 구성된다.[5]:63–66

\{Q,Q\}=\{G_\mu,G_\nu\}=0
\{Q,G_\mu\}=P_\mu

여기서 P_\mu는 병진(translation) 대칭의 생성원이다. 이 두 연산자 Q,G_\mu는 스칼라/벡터 "초대칭"으로 생각할 수 있다. (일반적인 초대칭 연산자는 스칼라나 벡터가 아니라 스핀 ½의 스피너이다.) 또한, 진공 상태 |0\rangleQ에 대하여 불변이라고 하자 (즉, 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않는다).

Q|0\rangle=0

그렇다면 QBRST 연산자로 생각하여, 물리적 힐베르트 공간 \mathcal H_\text{phys}Q에 대한 코호몰로지로 정의한다.

\mathcal H_\text{phys}=H_Q(\mathcal H)=\ker Q/\operatorname{im}Q

또한, \mathcal H 위의 연산자들에 대해서도 [Q,\cdot\}에 대한 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우, 관측 가능량들의 공간은 Q에 대한 연산자 코호몰로지이다. 즉, 물리적인 관측 가능량은 Q에 대하여 닫혀 있다.

주어진 물리적 스칼라 연산자 O^{(0)}에 대하여, G_\mu를 가해 다음과 같은 연산자들을 추가로 정의할 수 있다.

O^{(i+1)}=[G,O^{(i)}]

O^{(i)}i미분형식을 이루며, 다음과 같은 내림 방정식(영어: descent equation)을 만족시킨다. 이는 야코비 항등식으로부터 유도할 수 있다.

dO^{(i)}=[Q,O^{(i+1)}]

따라서 i>0의 경우, O^{(i)}Q에 대하여 닫혀 있지 않고, 관측 가능량을 이루지 않는다. 다만, 시공간 M의 임의의 i호몰로지 C_i\in H_i(M;\mathbb Z)에 대하여 모자곱을 취하면 이는 관측 가능량을 이루게 된다. 즉,

\int_{C_i}O^{(i)}

은 관측 가능량이다. 따라서, 다음과 같은 꼴의 상관 함수들을 계산할 수 있다.

\left\langle\cdots\int_{C_i}O^{(i)}\cdots\right\rangle

예를 들어, 도널드슨 불변량을 이러한 형태의 상관 함수로 나타낼 수 있다.

야티야 공리계[편집]

마이클 아티야는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위하여 다음과 같은 공리계를 제안하였다.[6] 이에 따라, d+1차원 위상 양자장론은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다.

  1. (함자성)
    1. (공간 대칭의 작용) 임의의 을 보존시키는 미분동형사상 f\colon Y\to Y'에 대하여, 벡터 공간의 동형사상 E(f)\colon E(Y)\to E(Y')가 존재한다.
    2. (시공간 대칭의 작용) 또한, 임의의 및 경계를 보존시키는 미분동형사상 g\colon X\to X'에 대하여, E(f|_{\partial X})\colon Z(X)\mapsto Z(X')이다.
  2. (대합성) -YY에 반대 을 준 유향다양체라고 한다면, E(-Y)=E(Y)^*이다. 여기서 V^*V쌍대공간이다.
  3. (승법성)
    1. (상태 공간의 승법성) E(Y\sqcup Y')=E(Y)\otimes E(Y')
    2. (짜깁기 법칙 영어: sewing law) \partial X_1=Y_1\sqcup Y_3, \partial X_2=Y_2\sqcup-Y_3이라면, X_1X_2Y_3으로 이어붙여 X=X_1\cup X_2, \partial X=Y_1\sqcup Y_2를 만들 수 있다. 이 경우, Z(X)=\langle Z(X_1),Z(X_2)\rangle이다. 여기서 \langle\cdot,\cdot\rangle\colon E(Y_1)\otimes E(Y_3)\otimes E(Y_3)^*\otimes E(Y_2)\to E(Y_1)\otimes E(Y_2)E(Y_3)의 내적이다.
  4. (비자명성)
    1. (상태 공간의 비자명성) E(\varnothing)=\mathbb C이다.
    2. (경로 적분의 비자명성) Z(\varnothing)=1이다.
    3. (시간 변화) Z(Y\times[0,1])=\operatorname{Id}_{E(Y)}\in E(Y)\otimes E(Y)^*이다. 여기서 [0,1]은 닫힌 구간이고, \operatorname{Id}_{E(Y)}\colon E(Y)\to E(Y)E(Y)항등함수다.

일반적인 양자역학과 달리, 위상 양자장론의 상태 공간 E(Y)에는 내적이 일반적으로 주어져 있지 않다. 일반적으로, 양자역학에서는 관측가능량해밀토니언을 정의하기 위하여 에르미트 연산자의 개념이 필요하고, 이를 정의하려면 상태공간과 그 쌍대공간의 동형사상 E(Y)\cong E^*(Y)이 필요하다. 그러나 위상 양자장론에서는 해밀토니언이 항상 0이므로 이 개념이 필요없다.

다양한 차원에서의 위상 뒤틂[편집]

초대칭 이론의 위상 뒤틂은 2차원~4차원에서 가능하다.

2차원 𝒩=(2,2) 위상 뒤틂[편집]

2차원 \mathcal N=(2,2) 초등각 장론R대칭은 U(1)2이며, 두 개의 위상 뒤틂이 존재한다. 이를 A-뒤틂(영어: A-twist) 및 B-뒤틂(영어: B-twist)라고 하며, 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형을 이렇게 뒤틀면 두 개의 위상 끈 이론을 얻는다. 이들 사이에는 거울 대칭이라는 관계가 존재한다.

4차원 𝒩=2 위상 뒤틂[편집]

4차원 \mathcal N=2 초대칭은 SU(2) R대칭을 가지므로, 유일한 위상 뒤틂을 갖는다. SU(2) 초대칭 게이지 이론을 뒤틀면 도널드슨 이론을 얻는다.

4차원 𝒩=4 위상 뒤틂[편집]

코호몰로지형 위상 양자장론의 대표적인 예는 위상 \mathcal N=4 초대칭 게이지 이론의 위상 뒤틂이다. \mathcal N=4 양-밀스 이론의 대칭군은

\operatorname{SU}(2)_{\text{l}}\times\operatorname{SU}(2)_{\text{r}}\times\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}

이다. 여기서 SU(2)l×SU(2)r=Spin(4)는 (유클리드) 로런츠 대칭이며, SU(4)는 R대칭이다. 초전하 (Q,\bar Q)는 표현

(1/2, 0, \mathbf4)\oplus(0, 1/2,\mathbf4)

를 따른다. (SU(2) 표현은 스핀 j=0,1/2,1,3/2,\dots으로 표기하였고, 다른 군의 표현은 그 차원을 굵은 글씨로 표기하였다.) 따라서, 위상 뒤틂은 군 준동형

\operatorname{SU}(2)_{\text{l}'}\times\operatorname{SU}(2)_{\text{r}'}
\to\operatorname{SU}(2)_{\text{l}}\times\operatorname{SU}(2)_{\text{r}}\times\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}

에 의하여 정의되며, 이 가운데 초전하 (Q,\bar Q)의 성분 가운데 적어도 하나가 새 로런츠 군에 대하여 스칼라가 되어야 한다. 이러한 위상 뒤틂은 3가지가 있으며, 다음과 같다.[8]:Table 6

이름 정의 성질 문헌
도널드슨-위튼 영어: Donaldson–Witten \operatorname{SU}(4)_{\text{R}}\supset\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\times\operatorname U(1), 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음 자기 홀극. \mathcal N=4 이론을, 딸림 표현의 물질을 갖는 \mathcal N=2 이론으로 간주.
바파-위튼 영어: Vafa–Witten \operatorname{SU}(6)\cong\operatorname{SO}(6)\supset\operatorname{SO}(3)^2, 두 SO(3) 가운데 하나를 로런츠 SO(3)와 대각선으로 섞음 순간자 [9]
마커스 영어: Marcus 또는 카푸스틴-위튼 영어: Kapustin–Witten \operatorname{SU}(4)_{\text{R}}\supset\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\times\operatorname U(1), 두 SU(2)의 대각 부분군을 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음 기하 랭글랜즈 프로그램과 관계있음 [10][11]

바파-위튼 뒤틂 · 마커스 뒤틂은 간혹 각각 A-뒤틂B-뒤틂으로 불리기도 한다.[12]:§4.2

장들의 분해는 다음과 같다.

설명 뒤틀기 전 표현
SU(2)l×SU(2)r×SU(4)R
도널드슨-위튼 뒤틂
SU(2)l×SU(2)r′×SU(2)F×U(1)U
바파-위튼 뒤틂
SU(2)l×SU(2)r′×SU(2)U
마커스 뒤틂
SU(2)l′×SU(2)r′×U(1)U
Q_\alpha^I\;(I=1,\dots,4) 왼손 초전하 (½, 0, 4) (½, ½, 0)+1 ⊕ (½, 0, ½)−1 (½, ½, ½) (½, ½)+1 ⊕ (1, 0)−1 ⊕ (0, 0)−1
\bar Q^{\bar I}_{\dot\alpha}\;(\bar I=\bar 1,\dots,\bar 4) 오른손 초전하 (0, ½, 4) (0, 1, 0)−1 ⊕ (0, 0, 0)−1 ⊕ (0, ½, ½)+1 (0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½) (½, ½)+1 ⊕ (0, 1)−1 ⊕ (0, 0)−1
A_\mu 게이지 보손 (½, ½, 1) (½, ½, 0)0 (½, ½, 0) (½, ½, 0)0
\psi^I_\alpha\quad(I=1,\dots,4) 왼손 게이지노 (½, 0, 4) (½, ½, 0)+1 ⊕ (½, 0, ½)−1 (½, ½, ½) (½, ½)+1 ⊕ (1, 0)−1 ⊕ (0, 0)−1
\bar\psi^{\bar I}_{\dot\alpha}\quad(\bar I=\bar1,\dots,\bar4) 오른손 게이지노 (0, ½, 4) (0, 1, 0)−1 ⊕ (0, 0, 0)−1 ⊕ (0, ½, ½)+1 (0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½) (½, ½)+1 ⊕ (0, 1)−1 ⊕ (0, 0)−1
\phi^i\quad(i=1,\dots,6) 스게이지노 (0, 0, 6) (0, ½, ½)0 ⊕ (0, 0, 0)±2 (복소 스칼라장) (0, 0, 1) ⊕ (0, 1, 0) (½, ½)0 (실수 벡터장) ⊕ (0, 0)±2 (복소 스칼라장)

도널드슨-위튼 뒤틂(영어: Donaldson–Witten twist)에서는 \operatorname{SU}(4)_{\text{R}} 대칭을

\operatorname{SU}(4)_{\text{R}}\to\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)_{\text{F}}\times\operatorname{U}(1)_{\text{U}}

으로 깬 뒤, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 군 \operatorname{SU}(2)_{\text{r}}와 섞어 얻는다. 이에 따라, 남은 \operatorname{SU}(2)_{\text{F}}맛깔 대칭, \operatorname{U}(1)_{\text{U}}는 유령수 대칭이 된다. 이 깨짐 아래, \operatorname{SU}(4)의 표현들은 다음과 같이 깨진다.[10]:§1

\mathbf 4\to(1/2,0)^{+1}\oplus(1/2,0)^{-1}
\mathbf 6\to(1/2,1/2)^0\oplus(0,0)^{\pm2}

바파-위튼 뒤틂(영어: Vafa–Witten twist) 또는 A-뒤틂(영어: A-twist)에서는 \operatorname{SU}(4)_{\text{R}} 대칭군을 우선

\operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{Spin}(6)\to\operatorname{Spin}(4)\cong\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)

로 깬 뒤, 두 SU(2) 성분 가운데 하나를 오른쪽 로런츠 군 \operatorname{SU}(2)_{\text{r}}와 섞는다. 따라서, 나머지 한 SU(2) 부분군은 SU(2) 유령수 대칭군 \operatorname{SU}(2)_{\text{U}}로 남게 된다. R대칭의 깨짐에 따라서, SU(4)의 표현들은 다음과 같은 \operatorname{SU}(2)^2 표현으로 깨진다.

\mathbf4\to(1/2,1/2)
\mathbf6\to(1,0)\oplus(0,1)

유령수 대칭이 SU(2) 단순군이므로, 바파-위튼 뒤틂에서는 (다른 뒤틂과 달리) 유령수가 변칙적이지 않다.

마커스 뒤틂(영어: Marcus twist) 또는 B-뒤틂(영어: B-twist)은 도널드슨-위튼 뒤틂에서 남아 있던 SU(2)F 맛깔 대칭을 왼쪽 로런츠 대칭 SU(2)l과 한 번 더 뒤틀어 얻는다.[10] 이에 따라 U(1)U 유령수 대칭만이 남게 된다.

3차원 𝒩=4 위상 뒤틂[편집]

3차원에서는 \mathcal N=1 초대칭은 2개의 초전하를 갖고, R대칭\operatorname{SO}(\mathcal N)이 된다. 이 경우, 위상 뒤틂을 위해서는 \mathcal N\ge4이어야 한다.

3차원 \mathcal N=4에서, R대칭은 Spin(4)\cong \operatorname{SU}(2)_N\times\operatorname{SU}(2)_R이다. 3차원 \mathcal N=4에서, 벡터 초장\operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_N\times\operatorname{SU}(2)_R 표현은 다음과 같다. (SU(2) 표현은 스핀으로 표현하였다.)

초장 대칭군 \operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_N\times\operatorname{SU}(2)_R 표현
초전하 Q_\alpha^a\quad(a=1,2,3,4) (2, 2, 2)
벡터 초장 게이지 보손 A_\mu (1, 0, 0)
게이지노 \chi_\alpha^i\quad(i=1,2) (½, ½, ½)
스게이지노 \eta_\alpha^I\quad(I=1,2,3) (0, 1, 0)
하이퍼 초장 페르미온 \psi_\alpha^i\quad(i=1,2) (½, ½, ½)
스칼라 \phi^i\quad(i=1,2) (0, 0, 0) + (0, 0, 1)

따라서, 뒤튼 후의 로런츠 군 \operatorname{SU}(2)_{E'}\operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_R의 대각선 부분군으로 잡거나, \operatorname{SU}(2)_E\times\operatorname{SU}(2)_N의 대각선 부분군으로 잡을 수 있다. 2차원 위상 끈 이론과 유사하게, 전자는 A-뒤틂(영어: A-twist), 후자는 B-뒤틂(영어: B-twist)이라고 한다.

초켈러 다양체 위의 3차원 시그마 모형의 경우, A-뒤틂은 카푸스틴-비아스 모형(영어: Kapustin–Vyas model),[13], B-뒤틂은 로잔스키-위튼 모형(영어: Rozansky–Witten model)[14] 이라고 한다. 3차원 초대칭 게이지 이론의 B-뒤틂은 블라우-톰프슨 모형(영어: Blau–Thompson model)이라고 한다.[12]:§4.3

3차원 𝒩=8 위상 뒤틂[편집]

3차원 \mathcal N=8 이론의 위상 뒤틂은 총 4가지가 있다.[12]:§5.1

  • 하나는 4차원 \mathcal N=4 이론의 바파-위튼 뒤틂 또는 마커스 뒤틂의 축소화이다. (이들은 축소화하면 서로 같아진다.) 뒤튼 뒤, 4개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
  • 하나는 4차원 \mathcal N=4 이론의 도널드슨-위튼 뒤틂의 축소화이다. 뒤튼 뒤, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
  • 하나는 4개의 스칼라 초대칭을 갖는 뒤틂을 한 번 더 추가로 뒤틀어서 얻으며, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
  • 하나는 1개의 스칼라 초대칭을 갖는다.

참고 문헌[편집]

  1. Kaul, R. K.; T. R. Govindarajan, P. Ramadevi (2005). “Schwarz type topological quantum field theories” (영어). arXiv:hep-th/0504100. Bibcode:2005hep.th....4100K. 
  2. Schwarz, Albert (1978년 1월). “The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants” (영어). 《Letters in Mathematical Physics》 2 (3): 247–252. Bibcode:1978LMaPh...2..247S. doi:10.1007/BF00406412. Zbl 0383.70017. 
  3. Witten, Edward (1991년 7월 10일). “Introduction to cohomological field theories” (영어). 《International Journal of Modern Physics A》 6 (16): 2775–2792. Bibcode:1991IJMPA...6.2775W. doi:10.1142/S0217751X91001350. ISSN 0217-751X. 
  4. Witten, Edward (1988). “Topological quantum field theory” (영어). 《Communications in Mathematical Physics》 117 (3): 353–386. Bibcode:1988CMaPh.117..353W. doi:10.1007/BF01223371. MR 953828. 
  5. Dijkgraaf, Robbert (1997년 3월). “Les Houches lectures on fields, strings and duality” (영어). arXiv:hep-th/9703136. Bibcode:1997hep.th....3136D. 
  6. Atiyah, Michael (1988년 1월). “Topological quantum field theories” (영어). 《Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 68 (1): 175–186. doi:10.1007/BF02698547. ISSN 0073-8301. MR 1001453. Zbl 0692.53053. 
  7. 일부 경우, 실수유한체에 대한 벡터 공간도 사용 가능하다.
  8. Gadde, A.; Gukov, S.; Putrov, P. “Fivebranes and 4-manifolds”. arXiv:1306.4320. 
  9. Vafa, Cumrun; Witten, Edward. “A Strong Coupling Test of S-Duality” (영어). arXiv:hep-th/9408074. 
  10. Marcus, Neil. “The other topological twisting of N=4 Yang–Mills” (영어). arXiv:hep-th/9506002. 
  11. Kapustin, Anton; Witten, Edward. “Electric–magnetic duality and the geometric Langlands program”. arXiv:hep-th/0604151. 
  12. Blau, Matthias; Thompson. “Aspects of N_T\ge2 topological gauge theories and D-branes” (영어). arXiv:hep-th/9612143. 
  13. Kapustin, Anton; Vyas, Ketan. “A-models in three and four dimensions” (영어). arXiv:1002.4241. 
  14. Rozansky, Lev; Witten, Edward. “Hyper-Kähler Geometry and Invariants of Three-Manifolds” (영어). arXiv:hep-th/9612216. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]