알렉산드로프 콤팩트화

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일반위상수학에서, 알렉산드로프 콤팩트화(Александров compact化, 영어: Alexandroff compactification)는 주어진 위상공간에 한 점을 추가하여 콤팩트 공간으로 만드는 방법이다. 한 점 콤팩트화(영어: one-point compactification)이라고 부르기도 한다.

정의[편집]

X가 임의의 위상공간이라고 하자. 여기에 한 점 \infty를 추가하여, X_+=X\sqcup\{\infty\}에 다음과 같은 위상을 부여하자. X_+의 부분집합 U\subset X_+가 열린 집합일 조건은 다음과 같다.

  • 만약 \infty\not\in U라면, U\subset XX의 위상에서 열린 집합일 때
  • 만약 \infty\in U라면, X_+\setminus U\subset XX의 위상에서 닫힌 집합이며 콤팩트 집합일 때

이렇게 위상을 부여한 위상공간 X_+는 항상 콤팩트 공간이다. 이를 알렉산드로프 콤팩트화라고 한다. 또한, 자연스러운 포함 관계 i\colon X\hookrightarrow X_+가 존재한다.

성질[편집]

포함 사상 i\colon X\hookrightarrow X_+는 항상 연속함수이며, 열린 집합의 은 열린 집합이다. 만약 X가 콤팩트하지 않은 경우 i의 상은 조밀집합이다.

X_+하우스도르프 공간일 필요충분조건은 X하우스도르프 국소 콤팩트 공간인지 여부다.

[편집]

유클리드 공간 \mathbb R^n의 알렉산드로프 콤팩트화는 초구 S^n위상동형이다.

역사[편집]

파벨 알렉산드로프가 1924년 정의하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Alexandroff, P.S. (1924년 9월). Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume. 《Mathematische Annalen》 92 (3–4): 294–301. doi:10.1007/BF01448011. JFM 50.0128.04. ISSN 0025-5831.