점을 가진 공간

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

호모토피 이론에서, 점을 가진 공간(영어: pointed space)은 위상공간과 그 속의 한 점으로 이루어진 순서쌍이다.

정의[편집]

점을 가진 공간 (X,x_0)위상공간 X와 그 속의 한 점 x_0\in X로 구성된 순서쌍이다. 즉, 특별한 한 점이 주어진 위상공간이다. 여기서 주어진 점을 밑점(영어: basepoint)이라고 한다. 다시 말해, 위상공간과 점을 가진 공간의 차이는 아핀공간벡터공간의 차이와 같다.

점을 가진 공간 사이의 사상 f\colon(X,x_0)\to(Y,y_0)은 밑점을 보존하는 연속함수다. 즉, f\colon X\to Y연속함수이고, 또한 f(x_0)=y_0이어야 한다. 즉, 다음 그림을 가환시키는 연속함수다.

PointedSpace-01.png

점을 가진 공간의 범주[편집]

점을 가진 공간들과 그 사이의 사상들로 이루어진 범주\operatorname{Top}_\bullet라고 쓴다. 위상공간의 범주 \operatorname{Top}으로 가는, 밑점을 잊는 망각 함자(forgetful functor) G\colon\operatorname{Top}_\bullet\to\operatorname{Top}가 존재한다. 이 망각 함자의 좌수반 함자F\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Top}_\bullet가 존재하며, 이는 주어진 위상공간에 새로운 밑점을 추가시킨다. 즉,

F\colon X\mapsto(X\sqcup\{\bullet\},\bullet)

이며, 또한 함수 f\colon X\to Y에 대하여

Ff=\begin{cases}
x\mapsto f(x)\in Y\subset FY&\forall x\in X\subset FX\\
\bullet_X\mapsto\bullet_Y
\end{cases}

이다.

점을 가진 공간의 범주 \operatorname{Top}_\bullet (위상공간의 범주와는 달리) 영 대상을 가진다. 이는 하나의 점만을 가지는 공간

(\{\bullet\},\bullet)

이다. 반면, 위상공간의 범주 \operatorname{Top}시작 대상 \varnothing (공집합)과 끝 대상 \{\bullet\}을 가지지만, 이들은 서로 다르므로 영 대상이 존재하지 않는다.