점을 가진 공간

호모토피 이론에서 점을 가진 공간(영어: pointed space)은 위상 공간과 그 속의 한 점으로 이루어진 순서쌍이다.

정의[편집]

범주 ${\mathcal {C}}$ 가 시작 대상 $1\in {\mathcal {C}}$ 을 갖는다고 하자.

${\mathcal {C}}$ 위의 점을 가진 범주(영어: pointed category) ${\mathcal {C}}_{\bullet }$ 는 쌍대 조각 범주 $1\backslash {\mathcal {C}}$ 이다. 즉,

${\mathcal {C}}_{\bullet }$ 의 대상은 ${\mathcal {C}}$ 의 사상 $\bullet _{X}\colon 1\to X$ 이다. 이는 $X$ 와 그 속의 "점" $\bullet _{X}$ 의 순서쌍 $(X,\bullet _{X})$ 으로 생각할 수 있다. 이를 $X$ 의 밑점(-點, 영어: basepoint)이라고 한다.
${\mathcal {C}}_{\bullet }$ 의 대상 $(X,\bullet _{X}),(Y,\bullet _{Y})\in {\mathcal {C}}_{\bullet }$ 사이의 사상 $f\colon (X,\bullet _{X})\to (Y,\bullet _{Y})$ 은 다음 그림을 가환하게 하는 ${\mathcal {C}}$ 에서의 사상 $f\colon X\to Y$ 이다.
${\begin{matrix}1&{\xrightarrow {\bullet _{X}}}&X\\&{\scriptstyle \bullet _{Y}}\!\!\searrow &\downarrow \scriptstyle f\\&&Y\end{matrix}}$

즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.

성질[편집]

시작 대상 $1\in {\mathcal {C}}$ 을 가진 범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 점을 가진 범주 ${\mathcal {C}}_{\bullet }$ 는 항상 영 대상 $1\in {\mathcal {C}}_{\bullet }$ 을 가진다.

영 대상을 가진 범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 점을 가진 범주는 ${\mathcal {C}}$ 와 동치이다. 즉, 범주 ${\mathcal {C}}$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

${\mathcal {C}}$ 는 영 대상을 가진다.
${\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {D}}_{\bullet }$ 인, 시작 대상을 가진 범주 ${\mathcal {D}}$ 가 존재한다.

망각 함자[편집]

시작 대상 $1\in {\mathcal {C}}$ 을 가진 범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 점을 가진 범주 ${\mathcal {C}}_{\bullet }$ 는 원래 범주 ${\mathcal {C}}$ 로 가는 자연스러운 망각 함자

F\colon {\mathcal {C}}_{\bullet }\to {\mathcal {C}}

를 갖는다.

만약 ${\mathcal {C}}$ 가 유한 쌍대 완비 범주라면, 망각 함자는 왼쪽 수반 함자

(-)_{+}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}_{\bullet }

(-)_{+}\colon (X\in {\mathcal {C}})\mapsto X_{+}=(X\sqcup 1,1\hookrightarrow X\sqcup 1)

(-)_{+}\dashv F

를 갖는다. 이를 밑점 추가(영어: adjoining disjoint basepoint)라고 한다.

분쇄곱[편집]

$({\mathcal {C}},\otimes )$ 가 유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주라고 하자. 그렇다면 ${\mathcal {C}}_{\bullet }$ 역시 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. ${\mathcal {C}}_{\bullet }$ 에서의 텐서곱은 분쇄곱(영어: smash product) $\wedge$ 이라고 한다. 또한, 만약 $({\mathcal {C}},\otimes )$ 가 대칭 모노이드 범주라면 $({\mathcal {C}}_{\bullet },\wedge )$ 역시 대칭 모노이드 범주이다.

구체적으로, ${\mathcal {C}}_{\bullet }$ 속의 두 대상 $(X,\bullet _{X})$ , $(Y,\bullet _{Y})$ 의 분쇄곱 $(X,\bullet _{X})\wedge (Y,\bullet _{Y})$ 은 다음과 같은 밂이다.

{\begin{matrix}(X\otimes 1)\sqcup (1\otimes Y)&\to &1\\\downarrow &&\downarrow \\X\otimes Y&\to &X\wedge Y\end{matrix}}

이 네모의 왼쪽 변은

\otimes \bullet _{Y}\colon X\otimes 1\to X\otimes Y

\bullet _{X}\otimes \colon 1\otimes Y\to X\otimes Y

로부터 유도되는 사상

(\otimes \bullet _{Y})\sqcup (\bullet _{X}\otimes )\colon (X\otimes 1)\sqcup (1\otimes Y)\to X\otimes Y

이다.

${\mathcal {C}}_{\bullet }$ 에서의 지수 대상 $[-,-]_{\bullet }$ 은 다음과 같은 당김이다.

{\begin{matrix}[X,Y]_{\bullet }&\to &1\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle {\bullet _{Y}}\\{}[X,Y]&{\xrightarrow[{\circ {\bullet _{X}}}]{}}&[1,Y]\end{matrix}}

$[X,Y]_{\bullet }$ 의 점은 유일한 사상 $X\to 1{\xrightarrow {\bullet _{Y}}}Y$ 에 대응한다.

예[편집]

점을 가진 집합[편집]

집합의 범주에서, 시작 대상은 한원소 집합이다. 따라서, 점을 가진 집합(영어: pointed set)의 범주 $\operatorname {Set} _{\bullet }$ 의 원소는 집합 $S$ 와 그 속의 원소 $\bullet _{S}\in S$ 의 순서쌍 $(S,\bullet _{S})$ 이다.

점을 가진 집합의 범주는 대수 구조 다양체의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조로 생각할 수 있다. (이 대수 구조 다양체에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.)

점을 가진 공간[편집]

위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 에서 끝 대상은 한원소 공간 $\{\bullet \}$ 이며, 한원소 공간에서 위상 공간 $X$ 로 가는 연속 함수 $\{\bullet \}\to X$ 는 $X$ 속의 한 점 $\bullet _{X}\in X$ 을 제시하는 것과 같다. 즉, 점을 가진 공간(영어: pointed space) $(X,x_{0})$ 은 위상 공간 $X$ 와 그 속의 한 점 $x_{0}\in X$ 로 구성된 순서쌍이며, 점을 가진 공간의 범주 $\operatorname {Top_{\bullet }}$ 의 사상인 점을 보존하는 연속 함수(영어: basepoint-preserving continuous map) $f\colon (X,\bullet _{X})\to (Y,\bullet _{Y})$ 는