천-사이먼스 이론

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이론물리학에서, 천-사이먼스 이론(영어: Chern–Simons theory)은 3차 천-사이먼스 형식작용으로 갖는 3차원 시바르츠형 위상 양자장론이다.[1][2][3] 끈 이론응집물질물리학, 매듭 이론에서 쓰인다.

역사[편집]

에드워드 위튼이 1988년에 도입하였다.[1][4][5] "천-사이먼스"라는 이름은 이 이론의 작용이 수학적으로 3차 천-사이먼스 형식이기 때문이다. 이는 천싱선제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다.

정의[편집]

G가 단순 리 군이고, 그 리 대수\mathfrak g라고 하자. 3차원 미분다양체 M 위에 G-접속 A_\mu가 주어졌다고 하자. A_\mu는 국소적으로 정의된, \mathfrak g값을 가지는 1차 미분형식이다. 이 때, 3차 천-사이먼스 형식은 다음과 같다.

\omega_3=\operatorname{Tr}\left(F\wedge A-\frac13A\wedge A\wedge A\right)

여기서 \operatorname{Tr}는 주어진 표현에 대한 대각합이다. SU(N) 또는 U(N)의 경우, 레벨이 정수가 되게 하려면 N차원 기본표현을 취한다.

천-사이먼스 형식은 닫힌 형식이다. 따라서, 천-사이먼스 형식을 작용으로 하는 작용

S\propto\int\omega_3=\int\operatorname{Tr}\left(F\wedge A-\frac13A\wedge A\wedge A\right)

은 작은 게이지 변환(이지 변환들의 위상군에서 단위원을 포함하는 연결 조각(connected piece)에 속한 게이지 변환)에 대하여 불변이다. 따라서 이는 고전적으로 게이지 불변 운동 방정식을 정의하며, 이는

0=F=dA+A\wedge A

이다. 즉, 이 이론은 고전적인 질량 껍질자유도가 없다. 따라서, 이를 양자화하면 위상 양자장론을 얻게 된다. 이 이론의 짜임새 공간G-주다발들과 이 위에 정의된 접속들의 집합이다.

양자역학적으로는 작용이 큰 게이지 변환(영어: large gauge transformation)도 고려해야 한다. 이 경우, 큰 게이지 변환에 따라

S\mapsto S+2\pi k (k\in\mathbb Z)

꼴로 변환하여야지만 경로 적분

\int [dA]\,\exp(iS[A])

이 불변이다. 따라서, 작용이

S=\frac k{4\pi}\int\operatorname{Tr}\left(F\wedge A-\frac13A\wedge A\wedge A\right)

이어야 한다. 이 작용이 정의하는 위상 양자장론천-사이먼스 이론이라고 한다. 여기서 k\in\mathbb Z는 임의의 0이 아닌 정수이며, 천-사이먼스 이론의 레벨(영어: level)이라고 한다.

양자화[편집]

천-사이먼스 이론은 기하학적 양자화를 통해 양자화할 수 있다.[4][5] 3차원 다양체 \Sigma\times[0,1]을 생각하자. 위상 양자장론의 공리계에 따라서, \Sigma에 대응하는 힐베르트 공간 \mathcal H(\Sigma)이 존재하여야 한다. 이 경우, 다음과 같은 게이지 고정 조건을 가하자.

A_0=0

이 경우, 작용은 다음과 같다.

S=\frac k{8\pi}\int_0^1dt\int_\Sigma\epsilon^{ij}\operatorname{Tr}A_i\dot A_j

여기서 i,j=1,2이다. 이 게이지에서 운동 방정식은 자명하다.

\dot A_i=0

또한, 게이지 고정 조건에 의한 다음과 같은 제약 조건이 존재한다.[4]:367

F_{ij}=0

따라서, 고전적으로 위상 공간\Sigma 위의 평탄한(flat) G-접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈러스 공간 \mathcal M(\Sigma)이다.

평탄한 접속의 모듈러스 공간[편집]

2차원 곡면 \Sigma 위의 평탄한 G-접속들의 게이지 변환에 대한 동치류들의 모듈러스 공간 \mathcal M(\Sigma)는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다.[6][7]:85–87 구체적으로, 임의의 \mathcal M접공간의 원소 \delta A_1,\delta A_2\in T_A\mathcal M(\Sigma)가 주어졌다고 하자. 이들을 \mathfrak g

\omega(\delta A_1,\delta A_2)=\int_\Sigma\operatorname{Tr}(\delta A_1\wedge\delta A_2)

로 정의할 수 있다. 평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다. 만약 \Sigma복소 구조 J를 부여하여 이를 리만 곡면으로 간주하면, \mathcal M(\Sigma)는 자연스럽게 켈러 구조를 가진다. 구체적으로, 복소 구조 J\colon T_A\mathcal M(\Sigma)\to  T_A\mathcal M(\Sigma)는 다음과 같다. 임의의 \delta A\in T_A\mathcal M(\Sigma)\Omega^1(\Sigma,\mathfrak g)의 원소로 나타내면,

[J(\delta A)]^j=J_i{}^j(\delta A)_i

이다. 여기서 우변의 J_i{}^j\Sigma복소 구조다.

콤팩트 곡면 \Sigma 위의 평탄한 G-접속들의 게이지 변환에 대한 동치류들의 모듈러스 공간은 대수학적으로

\mathcal M(\Sigma)\cong\hom(\pi_1(\Sigma),G)/G

이다. 여기서 \pi_1(\Sigma)\Sigma기본군이고, \hom(\cdot,\cdot)군 준동형사상들의 공간이며, /G동치관계 \phi\sim g\phi g^{-1}에 대한 동치류를 취하는 것이다. 예를 들어, G아벨 군이면

\mathcal M(\Sigma)\cong\hom(\pi_1(\Sigma),G)\cong G^{2g}

이다. 여기서 g\Sigma종수(genus)이다. 반면, G가 반단순(semisimple) 리 군인 경우, \mathcal M은 복잡한 위상을 가진다. \Sigma기본군은 다음과 같이 표시(presentation)된다.

\pi_1(\Sigma)=\langle a_1,b_1,\dots,a_g,b_g|a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}\rangle

따라서, \hom(\pi_1(\Sigma),G)의 한 원소는 \pi_1(\Sigma)의 생성원 \{a_i,b_i\}_{i=1,\dots,g}의 각 원소의 을 지정하여 나타낼 수 있다. 이는 2g(\dim G)개의 좌표가 필요하다. 물론, 여기에 \phi(a_1)\phi(b_1)\phi(a_1)^{-1}\phi(b_1)^{-1}\cdots=1\dim G개의 제약을 가하고, 또한 G의 켤레 작용 \phi\sim g\phi g^{-1} 또한 차원을 \dim G만큼 축소시키므로 모듈러스 공간의 차원은

\dim\mathcal M=-\chi(\Sigma)\cdot\dim G=(2g-2)\cdot\dim G

이다.[4]:368 여기서 \chi(\Sigma)=2-2g\Sigma오일러 지표다.

예를 들어, 구면 \Sigma=S^2의 경우 단일연결공간이므로

\mathcal M(S^2;G)=\{\bullet\}

(하나의 점만을 포함한 공간)이다. 반면 원환면 \Sigma=T^2=S^1\times S^1인 경우

\mathcal M(T^2;G)=(C(G)\times C(G))/\operatorname{Weyl}(G)

이다. 여기서 C(G)\cong U(1)^{\operatorname{rank}(G)}G카르탕 부분군(최대 아벨 부분군)이며, \operatorname{Weyl}(G)C(G)에 작용하는 바일 군(Weyl group)이다.

기하학적 양자화[편집]

\mathcal M은 자연스럽게 심플렉틱 구조를 가진다. 만약 \Sigma에 임의의 복소 구조 J를 가하면, 이에 따라 \mathcal M켈러 구조를 가지게 된다. 따라서, 켈러 구조의 기하학적 양자화를 사용할 수 있다. \mathcal M에 준양자 구조 L을 가하면, 그 힐베르트 공간은

\mathcal H_J=H^0(M;L)

이다. 보다 일반적으로, 레벨이 k인 경우, 힐베르트 공간은

\mathcal H_J(\Sigma)=H^0(\mathcal M(\Sigma);L^{\otimes k})

가 된다.[4]:369

힐베르트 공간 \mathcal H_J\Sigma의 복소 구조 J에 의존하며, 따라서 \Sigma의 복소 구조의 모듈러스 공간(타이히뮐러 공간 T_\Sigma) 위의 벡터 다발을 이룬다.

천-사이먼스 이론이 위상 양자장론을 이루려면 상태 공간은 복소 구조에 의존할 수 없다. 그러나 벡터 다발 \mathcal H은 사영적으로 평탄한 접속(projectively flat connection)을 지녀서, 사영 힐베르트 공간 P(\mathcal H)는 복소 구조에 의존하지 않는 것을 보일 수 있다.

레벨의 재규격화[편집]

양자화를 가하면, 천-사이먼스 이론의 레벨 k가 바뀌게 된다. 즉, 게이지 군이 G이고, 고전적으로 레벨이 k인 천-사이먼스 이론을 양자화하면, 측도의 게이지 변환 성질에 의하여 유효 천-사이먼스 레벨이

k'=k+h^\vee(G)

가 된다.[8][9] 여기서 h^\vee(G)G이중 콕서터 수이다. 만약 페르미온을 추가한 초대칭 천-사이먼스 이론의 경우, 초대칭의 수 \mathcal N에 따라 레벨의 재규격화가 달라진다.[10] \mathcal N=1 (두 개의 초전하, 하나의 마요라나 페르미온)인 경우, 레벨의 재규격화는 이중 콕서터 수의 절반이다. 이 경우 양자화 조건은 재규격화된 레벨이 정수라는 것이다.[11]

k'=k+h^\vee(G)/2\in\mathbb Z

따라서, 이중 콕서터 수가 홀수인 경우에는 고전적 레벨 k반정수가 된다. \mathcal N=2,3인 경우 재규격화가 없다.

초대칭 수 \mathcal N 레벨의 변화
\mathcal N=0 k'=k+h^\vee(G)
\mathcal N=1 k'=k+h^\vee(G)/2
\mathcal N=2,3 k'=k

초대칭 천-사이먼스 이론[편집]

순수 천-사이먼스 이론에 마요라나 페르미온을 추가하여, 초대칭 천-사이먼스 이론(영어: supersymmetric Chern–Simons theory)을 만들 수 있다.[12][13] 이 경우 페르미온은 운동 에너지 항이 없어 국소적 자유도를 갖지 않는다. 이렇게 하여 \mathcal N=1,2,3 초대칭 천-사이먼스 이론을 정의할 수 있다. \mathcal N>3은 불가능하다.[12] \mathcal N=1 초대칭 천-사이먼스 이론의 경우, 게이지 보손 A에 대응하는 마요라나 게이지노 \lambda를 추가하면 작용은 다음과 같다.

S=\frac k{4\pi}\int(A\wedge dA-\frac23iA\wedge A\wedge A-\bar\lambda\lambda

운동항이 없으므로 페르미온의 경로 적분을 계산할 수 있고, 이렇게 페르미온을 적분해 없애면 원래 천-사이먼스 이론만이 남는다.

\mathcal N=2 초대칭 천-사이먼스 이론의 경우 게이지 보손과 두 개의 마요라나 페르미온, 하나의 복소 스칼라를 포함한다. \mathcal N=3 초대칭 천-사이먼스 이론의 경우 게이지 보손과 세 개의 스핀 ½ 마요라나 페르미온, 세 개의 스칼라 보손, 하나의 스핀 −½ 마요라나 페르미온이 존재한다. (공간이 2차원이므로, 스핀은 애니온과 같이 음수일 수 있다.)

초대칭 천-사이먼스 이론은 끈 이론에서 자주 등장한다. D-막의 세계부피 이론의 작용은 천-사이먼스 형 항들을 포함하며, 겹친 M2-막 위에 존재하는 이론(ABJM 이론) 또한 천-사이먼스 이론의 일종이다. 또한, 천-사이먼스 이론은 등각 장론의 하나인 베스-추미노-위튼 모형과도 관련되어 있다.

응용[편집]

3차원 양자 중력[편집]

3차원 양자 중력은 천-사이먼스 이론의 일종이다.[14] [15][16][17] 이는 3차원에는 중력자가 국소적 질량 껍질자유도를 갖지 않기 때문에 가능하다.

매듭 이론[편집]

천-사이먼스 이론은 매듭 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 존스 다항식(Jones polynomial)과 HOMFLY 다항식(HOMFLY polynomial)은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리로 해석할 수 있다.

분수 양자 홀 효과[편집]

응집물질물리학에서, 천-사이먼스 이론은 분수 양자 홀 효과를 설명하는 데 쓰인다.[18]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Witten, Edward (1988년 9월). Topological quantum field theory. 《Communications in Mathematical Physics》 117 (3): 353–386Superconformal Chern–Simons Theoriessc. doi:10.1007/BF01223371. Bibcode1988CMaPh.117..353W. MR0953828. Zbl 0656.53078. ISSN 0010-3616.
  2. Dunne, Gerald V. (1999년). Aspects of Chern–Simons theory. arXiv:hep-th/9902115. Bibcode1999tald.conf..177D.
  3. Labastida, J. M. F. (1999년). Chern–Simons gauge theory: ten years after. 《American Institute of Physics Conference Proceedings》 484: 1–40. arXiv:hep-th/9905057. doi:10.1063/1.59663. Bibcode1999AIPC..484....1L.
  4. (영어) Witten, Edward (1989년). Quantum field theory and the Jones polynomial. 《Communications in Mathematical Physics》 121 (3): 351–399. doi:10.1007/BF01217730. Bibcode1989CMaPh.121..351W. MR0990772. Zbl 0667.57005. ISSN 0010-3616.
  5. (영어) Axelrod, Scott, Steve Della Pietra, Edward Witten (1991년). Geometric quantization of Chern–Simons gauge theory. 《Journal of Differential Geometry》 33 (3): 787–902. MR1100212. Zbl 0697.53061.
  6. (영어) Atiyah, Michael F., Raoul Bott (1983년 3월 17일). The Yang–Mills equations over Riemann surfaces. 《Philosophical Transactions of the Royal Society A》 308 (1505): 523–615. doi:10.1098/rsta.1983.0017. Zbl 0509.14014.
  7. Cannas da Silva, Ana. Symplectic geometry. arXiv:math/0505366. Bibcode2005math......5366C.
  8. (영어) Labastida, J.M.F., A.V. Ramallo. Operator formalism for Chern-Simons theories. 《Physics Letters B》. doi:10.1016/0370-2693(89)91289-6.
  9. (영어) Chern-Simons theory and conformal blocks. 《Physics Letters B》. doi:10.1016/0370-2693(89)90661-8.
  10. (영어) Kao, Hsien-Chung, Kimyeong Lee, Taejin Lee. The Chern-Simons Coefficient in Supersymmetric Yang-Mills Chern-Simons Theories. 《Physics Letters B》. arXiv:hep-th/9506170. doi:10.1016/0370-2693(96)00119-0. Bibcode1995hep.th....6170K.
  11. (영어) Witten, Edward. Supersymmetric index of three-dimensional gauge theory. arXiv:hep-th/9903005. Bibcode1999hep.th....3005W.
  12. (영어) Kao, Hsien-Chung, Kimyeong Lee. Self-Dual Chern-Simons Higgs Systems with an N=3 Extended Supersymmetry. 《Physical Review D》. arXiv:hep-th/9205115. doi:10.1103/PhysRevD.46.4691. Bibcode1992PhRvD..46.4691K.
  13. (영어) Schwarz, John H. (2004년 11월). Superconformal Chern–Simons theories. 《Journal of High Energy Physics》 2004 (11): 78. arXiv:hep-th/0411077. doi:10.1088/1126-6708/2004/11/078. Bibcode2004JHEP...11..078S.
  14. (영어) Achúcarro, A., P. Townsend (1986년). A Chern–Simons action for three-dimensional anti-De Sitter supergravity theories. 《Physics Letters B》 180: 89. doi:10.1016/0370-2693(86)90140-1. Bibcode1986PhLB..180...89A.
  15. (영어) Witten, Edward (19 Dec 1988). (2+1)-dimensional gravity as an exactly soluble system. 《Nuclear Physics B》 311 (1): 46–78. doi:10.1016/0550-3213(88)90143-5. Bibcode1988NuPhB.311...46W.
  16. (영어) Witten, Edward. Three-dimensional gravity revisited. arXiv:0706.3359.
  17. (영어) Zanelli, Jorge. Lecture notes on Chern–Simons (super-)gravities. arXiv:hep-th/0502193. Bibcode2005hep.th....2193Z.
  18. (영어) Lopez, Ana, Eduardo Fradkin. Fermionic Chern-Simons Field Theory for the Fractional Hall Effect. Bibcode1997cond.mat..4055L.