게이지 변환군

이론물리학과 미분기하학에서 게이지 변환군(gauge變換群, 영어: group of gauge transformations)은 어떤 주다발의 자기 동형으로 구성된 위상군이다. 그 원소를 게이지 변환(gauge變換, 영어: gauge transformation)이라고 한다. 양-밀스 이론이나 천-사이먼스 이론과 같은 게이지 이론은 이러한 군을 대칭으로 갖는다.

정의

함수로서의 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$
• $G$-매끄러운 주다발 $P\twoheadrightarrow M$

그렇다면, $P$의 게이지 변환은 $P$의 자기 동형 사상이다. 즉, 매끄러운 함수

$\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(P,G)$

가운데, 등변 함수 조건

$\phi (p\cdot g)=g^{-1}\phi (p)g\qquad \forall (p,g)\in P\times G$

을 만족시키는 것이다.^{:539, (2.1)} 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

${\begin{matrix}P\times G&{\overset {(\cdot )}{\to }}&P\\{\scriptstyle \!\!\!\!\!\!(\phi ,\operatorname {id} )}\downarrow {\scriptstyle \color {White}(\phi ,\operatorname {id} )\!\!\!\!\!\!}&&{\color {White}\scriptstyle \!\!\!\!\!\!\phi }\downarrow {\scriptstyle \phi \!\!\!\!\!\!}\\G\times G&{\underset {\!\!\!\!\!\!\!\!\!(h,g)\mapsto g^{-1}hg\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{\to }}&G\end{matrix}}$

두 게이지 변환 $\phi ,\chi$는 다음과 같이 점별 곱셈으로 곱할 수 있다.

$(\phi \chi )(p)=\phi (p)\chi (p)$

그렇다면, 게이지 변환들의 집합은 위상군을 이룬다. 이를 게이지 변환군이라고 한다.

연관 다발을 통한 정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$
• $G$-매끄러운 주다발 $P\twoheadrightarrow M$

그렇다면, 연관 다발 $\operatorname {Ad} (P)=P\times _{G}G$을 취할 수 있다. 여기서 $G$의, 스스로 위의 왼쪽 군 작용은 켤레 $g\cdot h=ghg^{-1}$이다. 이 올다발의 매끄러운 단면

$\phi \in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))$

을 $P$의 게이지 변환이라고 한다.

이 정의는 함수로서의 정의와 동치이다.^{:539, §2}

무한소 게이지 변환

게이지 변환군 $\operatorname {Aut} (P)=\Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))$에 대응하는 실수 리 대수는 딸림표현 연관 벡터 다발

$\operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {g}}$

의 매끄러운 단면

$\Gamma ^{\infty }(\operatorname {ad} (G))$

의 실수 벡터 공간이다. 이 경우, ${\mathfrak {g}}$의 리 괄호는 $G$의 딸림표현 작용에 공변이므로,

$[\operatorname {ad} (g)x,\operatorname {ad} (g)y]=\operatorname {ad} ([x,y])$

이는 $\Gamma ^{\infty }(\operatorname {ad} (G))$ 위에 점별로 잘 정의되며, 이는 실수 리 대수를 이룬다. 그 원소는 무한소 게이지 변환(영어: infinitesimal gauge transformation)으로 해석될 수 있다.

큰 게이지 변환

게이지 변환군 $\operatorname {Aut} (P)$는 위상군이며, 그 연결 성분의 군

$\pi _{0}(\operatorname {Aut} (P))={\frac {\operatorname {Aut} (P)}{\operatorname {Aut} _{0}(P)}}$

을 정의할 수 있다. 이를 큰 게이지 변환(영어: large gauge transformation)의 군이라고 한다. 반면, 항등원을 포함하는 연결 성분 $\operatorname {Aut} _{0}(P)$의 원소를 작은 게이지 변환(영어: small gauge transformation)이라고 한다.

성질

연관 벡터 다발의 단면 위의 작용

임의의 $M$ 위의 $G$의 유한 차원 실수 표현 $G\to \operatorname {GL} (V)$이 주어졌을 때, 연관 벡터 다발

$E=P\times _{G}V$

의 매끄러운 단면의 공간 $\Gamma ^{\infty }(E)$를 생각할 수 있다. 게이지 변환군 $\operatorname {Aut} (P)$은 그 위에 다음과 같은 표준적인 왼쪽 군 작용을 갖는다.

$(\phi \cdot s)(x)=q(p,\phi (p)v)\qquad (s(x)=q(p,v),\;(p,v)\in P\times V)$

여기서

$q\colon P\times V\twoheadrightarrow P\times _{G}V=E$

는 연관 벡터 다발의 정의에 등장하는 전사 함수이다.

주접속과 주곡률 위의 작용

매끄러운 다양체 $M$ 위의 $G$-주다발 $P\twoheadrightarrow M$ 위의 주접속 $A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})$이 주어졌다고 하자. $P$의 게이지 변환 $\phi \in \Gamma (\operatorname {Ad} (P))$는 주다발의 자기 동형

$\phi _{\#}\colon P\to P$

$\phi _{\#}\colon p\mapsto p\cdot \phi (p)$

를 정의하며, 따라서 주접속 위에도

$\phi \cdot A=\phi _{\#}^{*}A$

와 같이 작용한다.

게이지 변환군은 주접속 $A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})$의 곡률 $F\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})$ 위에 마찬가지로 다음과 같이 작용한다.

$F\mapsto \phi _{\#}^{*}F$

반면, 예를 들어, 킬링 형식 $B(-,-)$ 및 준 리만 계량 $g$에 대하여, 양-밀스 라그랑지언 $B(F,F^{\#})\in \Omega ^{0}(M)$는 게이지 불변이다.

큰 게이지 변환에 대한 레벨의 양자화

매끄러운 다양체 $M$ 위의 주다발 $P$를 생각하자.

어떤 작용 $S$가 게이지 변환 $\phi \in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))$에 대하여 다음과 같은 꼴로 변환한다고 하자.

${\frac {1}{2\pi }}S\mapsto {\frac {1}{2\pi }}S+\sum _{i}\int _{M}F_{i}\wedge \phi ^{*}\alpha _{i}$

$\alpha _{i}\in \Omega ^{d_{i}}(G)$, $((-)^{g})^{*}\alpha _{i}=\alpha _{i}$ ($(-)^{g}\colon G\to G,\;h\mapsto ghg^{-1}$)

$\mathrm {d} \alpha _{i}=0$

$F_{i}\in \Omega ^{n-d_{i}}(M)$

$\mathrm {d} F_{i}=0$

여기서 $\alpha _{i}$의 당김은 켤레 변환 불변성에 대하여 $\operatorname {Ad} (P)$의 임의의 국소 자명화에 상관없이 잘 정의된다.

이론이 양자장론에 따라 잘 정의되려면 (즉, $\exp(\mathrm {i} S)$가 게이지 불변이려면), 항상

$\sum _{i}\int _{M}F_{i}\wedge g^{*}\alpha _{i}\in \mathbb {Z}$

이어야 한다.

만약 $g$가 작은 게이지 변환이라면, $\alpha _{i}$가 완전 미분 형식이 된다. 즉, $\alpha _{i}=\mathrm {d} \beta _{i}$라고 하면,

${\frac {1}{2\pi }}S\mapsto {\frac {1}{2\pi }}S+\sum _{i}\int _{M}\mathrm {F} _{i}\wedge \phi ^{*}\mathrm {d} \beta _{i}={\frac {1}{2\pi }}S+\sum _{i}(-)^{(n-d_{i})}\int _{M}\mathrm {d} (F_{i}\wedge \phi ^{*}\beta _{i})={\frac {1}{2\pi }}S$

가 되어, 이 작용은 작은 게이지 변환에 대하여 불변임을 알 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환에 대하여 불변이 아닐 수 있다. 즉, 만약 $\alpha _{i}$가 자명하지 않은 코호몰로지류를 갖는다면, 이는 이론에서

$[M]\frown ([F_{i}]\smile \operatorname {H} ^{d_{i}}(M;\mathbb {R} ))\in \mathbb {Z}$

의 꼴의 제약을 유도한다. 이는 디랙 양자화의 한 경우이다. (여기서 $[M]\in \operatorname {H} _{n}(M;\mathbb {R} )$는 실수 계수 기본류이다.)

특히, 만약 $d_{i}=n$일 경우, 이는

$F_{i}\in \mathbb {Z}$

를 유도한다. 이 경우, 이 값 $F_{i}\in \mathbb {Z}$를 레벨(영어: level)이라고 한다.

예를 들어, 아벨 또는 비아벨 천-사이먼스 이론이 이와 같은 경우에 해당한다.

예

자명한 주다발

$P=M\times G$가 자명한 주다발이라고 하자 (즉, 대역적 단면이 주어졌다고 하자). 이 경우, 표준적으로 $\operatorname {Ad} (P)=M\times G$가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수 $M\to G$가 된다.

함수를 통한 정의:

만약 $P=M\times G$가 자명한 주다발이라면, 매끄러운 함수 $\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)$에 대응하는 게이지 변환은

$\phi (m,g)=g^{-1}\phi (m)g\qquad \forall (m,g)\in P=M\times G$

이다.

연관 다발을 통한 정의:

만약 $P=M\times G$가 자명한 주다발이라면, $\operatorname {Ad} (P)=M\times G$이다. 구체적으로, $\operatorname {Ad} (P)$의 올을

$G\times _{G}G={\frac {G\times G}{(gk,h)\sim (g,khk^{-1})}}$

로 정의하면, 모든 동치류는

$(g,h)\sim (1,ghg^{-1})$

의 동치 관계 아래 $(1,g)$의 꼴의 대표원을 갖는다.

만약 $M=\mathbb {S} ^{n}$이 초구이며, $P=M\times G$가 자명한 주다발이라면, 큰 게이지 변환의 군은 호모토피 군 $\pi _{n}(G)$과 집합으로서 같다. 그러나 호모토피 군으로서의 군 연산은 큰 게이지 변환의 군으로서의 군 연산과 일반적으로 다르다.

특히, 만약 $M=\mathbb {S} ^{3}$이며, $G$가 콤팩트 단순 리 군일 경우, $\pi _{3}(G)=\operatorname {Cyc} (\infty )$ (무한 순환군)이 된다.

아벨 주다발

만약 $G$가 아벨 리 군이라고 하고, 이를 올로 갖는 매끄러운 주다발 $P$를 생각하자. 이 경우, $G$ 위의 켤레 작용이 자명하므로, 표준적으로

$\operatorname {Ad} (P)=P\times _{G}G=M\times G$

가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수 $M\to G$가 된다. 마찬가지로, 무한소 게이지 변환은 리 대수 값 미분 형식 $\Omega ^{1}(M)\otimes _{\mathbb {R} }{\mathfrak {lie}}(G)$가 된다.

이 경우, 주접속의 곡률은 사실 $M$ 위의 리 대수 값 미분 형식 $F\in \Omega ^{2}(M)\otimes _{\mathbb {R} }{\mathfrak {lie}}(G)$가 되며, 이는 게이지 불변이다.

외부 링크

• “Gauge transformation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Gauge transformation”. 《nLab》 (영어). 
• “Large gauge transformation”. 《nLab》 (영어). 
• “Gauge group”. 《nLab》 (영어).