리 대수 값 미분 형식

기하학에서 리 대수 값 미분 형식(Lie代數값微分形式, 영어: Lie-algebra-valued differential form)은 리 대수인 자명한 벡터 다발의 값의 미분 형식이다. 이 경우, 일반 벡터 값 미분 형식과 달리, 두 미분 형식에 대한, 쐐기곱과 리 괄호를 합성한 연산을 취할 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 유한 차원 실수 리 대수 ${\mathfrak {g}}$

그렇다면, 자명한 벡터 다발 $M\times {\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow M$을 생각할 수 있다. 이 벡터 다발의 값을 갖는 미분 형식

$\alpha \in \Gamma \left(M;{\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\bigvee ^{\bullet }\mathrm {T} ^{*}M\right)$

을 ${\mathfrak {g}}$값 미분 형식이라고 한다.

L∞-대수 값의 1차 미분 형식

1차 미분 형식의 경우, 다음과 같이 L∞-대수에 대하여 일반화될 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 유한형 (즉, 각 차수별 차원이 유한한) 실수 L∞-대수 ${\mathfrak {g}}$. 이는 물론 코쥘 쌍대성에 따라 가환 미분 등급 대수 $\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$로 여겨질 수 있다.

그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.

• $M$ 위의 미분 형식들의 공간은 가환 미분 등급 대수 $\Omega (M)$를 이룬다.
• ${\mathfrak {g}}$의 베유 대수 $\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$ 역시 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

그렇다면, $M$ 위의 ${\mathfrak {g}}$ 값의 미분 형식은 미분 등급 대수의 준동형

$\alpha \colon \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)$

이다.

만약 ${\mathfrak {g}}$가 리 대수일 경우 (즉, ${\mathfrak {g}}$의 모든 등급이 0차일 경우, 또는 마찬가지로 $\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$의 생성원의 모든 등급이 1차일 경우), 이 정의는 ${\mathfrak {g}}$값의 1차 미분 형식의 정의로 귀결된다.

설명:

구체적으로, 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 기저가 $(t_{i})_{i\in I}$라고 하고, 그 베유 대수 $(\operatorname {W} ({\mathfrak {g}}),\mathrm {d} )$의 등급 1의 생성원이 $(t^{i})_{i\in I}$, 등급 2의 생성원이 $(\delta t^{i})_{i\in I}$라고 하자. 즉, 다음과 같다.

$\delta \mathrm {d} _{\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}+\mathrm {d} _{\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})}\delta =0$

$\delta ^{2}=0$

$\mathrm {d} _{\operatorname {CE} }t^{i}(t_{j},t_{k})=-{\frac {1}{2}}t^{i}([t_{j},t_{k}])$

그렇다면, 준동형

$\phi \colon \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \Omega (M)$

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\mathfrak {g}}$ 값의 1차 미분 형식 $\textstyle \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})$
• ${\mathfrak {g}}$ 값의 2차 미분 형식 $\textstyle \sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})\in \Omega ^{2}(M;{\mathfrak {g}})$

그런데, 후자는 전자로서 다음과 같이 결정된다.

${\begin{aligned}\mathrm {d} \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})&=\mathrm {d} \sum _{i\in I}t_{i}\left(\phi (\delta t^{i})+\phi (\mathrm {d} _{\operatorname {CE} }t^{i})\right)\\&=\sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})-{\frac {1}{2}}\sum _{j,k\in I}[t_{j},t_{k}]\phi (t^{j})\wedge \phi (t^{k})\\&=\sum _{i\in I}t_{i}\phi (\delta t^{i})-\left[\sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\wedge \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})\right]\end{aligned}}$

즉, 이는 임의의 ${\mathfrak {g}}$ 값의 1차 미분 형식 $\textstyle \sum _{i\in I}t_{i}\phi (t^{i})$만으로 완전히 결정된다.

연산

리 괄호

매끄러운 다양체 $M$ 위의, 실수 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 값의, $m$차 미분 형식 $\alpha$와 $n$차 미분 형식 $\beta$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 리 괄호는 다음과 같은, ${\mathfrak {g}}$ 값의 $m+n$차 미분 형식이다.

$[\alpha \wedge \beta ](v_{1},\dotsc ,v_{m+n})={\frac {1}{(m+n)!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (m+n)}(-)^{\sigma }[\alpha (v_{1},\dotsc ,v_{m}),\beta (v_{m+1},\dotsc ,v_{m+n})]\qquad \forall x\in M,\;v_{1},\dotsc ,v_{m+n}\in \mathrm {T} _{x}M$

이에 따라, $M$ 위의 ${\mathfrak {g}}$ 값의 미분 형식들은 실수 등급 대수를 이룬다.

준동형

임의의 실수 리 대수의 준동형 $\phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ 및 ${\mathfrak {g}}$값의 $m$차 미분 형식 $\alpha$가 주어졌을 때,

$\phi (\alpha )(v_{1},\dotsc ,v_{m})=\phi (\alpha (v_{1},\dotsc ,v_{m}))\qquad \forall x\in M,\;v_{1},\dotsc ,v_{m}\in \mathrm {T} _{x}M$

로 정의하면, $\phi (\alpha )$는 $M$ 위의 ${\mathfrak {h}}$ 값의 $m$차 미분 형식을 이룬다.

외부 링크

• “Groupoid of Lie-algebra valued forms”. 《nLab》 (영어). 
• “Infinity-Lie algebroid-valued differential form”. 《nLab》 (영어).