L∞-대수

수학에서 L_∞-대수(L_∞-algebra) 또는 호모토피 리 대수(영어: homotopy Lie algebra)는 $\mathbb {Z}$ 등급을 갖는 대수이다. 리 대수의 개념에서, 야코비 항등식이 오직 호모토피에 대하여 성립하도록 약화시킨 것이다.

정의

괄호를 통한 정의

표수 0의 체 $K$가 주어졌다고 하자. $K$ 위의 초벡터 공간 $V=V_{+}\oplus V_{-}$이 주어졌을 때, 다음을 정의하자.

$\bigwedge V={\frac {\operatorname {T} (V)}{\mathfrak {I}}}$

여기서 ${\mathfrak {I}}$는 텐서 대수 $\operatorname {T} (V)$의, 다음 부분 집합으로 생성되는 아이디얼이다.

${\mathfrak {I}}=\left(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \dotsb \otimes v_{n}-(-)^{\sigma }(-)^{\sigma ,{\vec {v}}}v_{\sigma (1)}\otimes v_{\sigma (2)}\otimes \dotsb \otimes v_{\sigma (n)}\colon \sigma \in \operatorname {Sym} (n),\;v_{1},\dotsc ,v_{n}\in V_{+}\cup V_{-}\right)$

여기서

• $(-)^{\sigma }\in \{\pm 1\}$는 순열의 부호수, 즉 군 준동형 $\operatorname {Sym} (n)\to \operatorname {Sym} (2)$에 대한 상이다.
• $(-)^{\sigma ,{\vec {v}}}\in \{\pm 1\}$는 $\sigma$가 $(v_{1},\dotsc ,v_{n})$에 작용할 때, $V_{-}$에 속하는 두 원소를 교환할 때의 수가 짝수인 경우 $+1$, 홀수일 경우 $-1$이다.

물론 $\textstyle \bigwedge V$는 자연수 등급을 갖는다.

$K$ 위의 L_∞-대수 $A$는 다음과 같은 일련의 연산이 주어진, $K$ 위의 $\mathbb {Z}$-등급 벡터 공간

$A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A^{i}$

이다.

• 각 $n\geq 1$에 대하여, 등급 반대칭 $n$항 연산 $[-,-,\dotsc ,-]\colon \textstyle \bigwedge ^{n}V\to K$. 그 등급은 $n-2$이다. (즉, 2항 괄호의 등급이 0이며, 1항 괄호는 등급 −1의 미분을 이룬다.)

  $\deg[a_{1},\dotsc ,a_{n}]_{n}=n-2+\sum _{i=1}^{n}\deg a_{i}$

이는 다음과 같은 야코비 항등식을 만족시켜야 한다.

$0=\sum _{i+j=n+1}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (i,n-i)}e(\sigma )(-1)^{\sigma +i(j-1)}[[a_{\sigma (1)},\dots ,a_{\sigma (i)}]_{i},a_{\sigma (i+1)},\dots ,a_{\sigma (n)}]_{j}$

여기서

• $\operatorname {Sh} (i,n-i)$는 $(i,n-i)$-셔플 순열의 집합이다.
• $e(\sigma )$는 순열 $\sigma$가 홀수 등급을 갖는 원소쌍을 서로 짝수 번 뒤바꾸었을 때 $+1$, 홀수 번 뒤바꾸었을 때 $-1$이다. 이를 코쥘 부호(영어: Koszul sign)라고 한다.

미분 등급 대수를 통한 정의

만약 각 등급별 차원이 유한하다면, L_∞-대수는 다음과 같이 정의될 수도 있다.

표수 0의 체 $K$ 위의 위의 호모토피 리 대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$ 위의 양의 정수 등급 벡터 공간 $A=\textstyle \bigoplus _{i\in \mathbb {Z} ^{+}}A_{i}$. 이로부터 다음을 정의할 수 있다.
  • $A^{*}$는 $A$의 대수적 쌍대 공간이다.
  • $\operatorname {Sym} (A^{*})$은 등급 벡터 공간 $A^{*}$ 위의 대칭 대수이며, 이는 자연수 등급 대수를 이룬다.
• $\mathrm {d} \colon \operatorname {Sym} (V^{*})\to \operatorname {Sym} (V^{*})$는 $\operatorname {Sym} (V^{*})$ 위의, 등급 +1의 연속 미분이다. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다.
  • $\mathrm {d}$는 $K$-선형 변환이다.
  • $\mathrm {d} \circ \mathrm {d} =0$
  • $\mathrm {d} (ab)=(\mathrm {d} a)b+(-)^{\deg a}a\mathrm {d} b$이다. 여기서 $a$는 동차 성분이다.
  • $\deg(\mathrm {d} a)=1+\deg a$. 여기서 $a$는 동차 성분이다.

이는 다음 조건을 추가로 만족시켜야 한다.

• 표준 사영 $(\operatorname {Sym} (V^{*}),\mathrm {d} )\to (K,0)$는 미분 등급 대수의 준동형이다.

(만약 이 조건을 생략한다면, 굽은 L_∞-대수영어: curved L_∞-algebra의 개념을 얻는다.)

두 정의 사이의 관계

이 두 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선, 괄호 $[-,-,\dotsc ,-]_{\bullet }$를 통한 정의에서, $A$의 임의의 기저

$A=\operatorname {Span} _{K}\{t_{i}\}_{i\in I}$

를 잡자. 그 쌍대 기저는

$A^{*}=\operatorname {Span} _{K}\{t^{i}\}_{i\in I}$

이며, 또한

$\deg t^{i}=\deg t_{i}+1$

로 놓자. 그렇다면,

$\mathrm {d} \colon t^{i}\mapsto -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}t^{i}([t_{i_{1}},\dotsc ,t_{i_{n}}]_{n})t^{i_{1}}t^{i_{2}}\dotsm t^{i_{n}}$

이다. 이 경우, 멱영 조건

$\mathrm {d} ^{2}=0$

을 전개하고 등급별로 분해하면, 괄호에 대한 조건들과 동치임을 알 수 있다.

예

미분 등급 리 대수

 이 부분의 본문은 미분 등급 리 대수입니다.

L_∞-대수 ${\mathfrak {g}}$에서, 만약 오직 2항 이하 괄호만이 0이 아닌 경우, 이는 미분 등급 리 대수를 이룬다. 즉, 이 경우

$[a]_{1}=\mathrm {d} a$

$[a,b]_{2}=[a,b]$

$[a,b,\dotsc ,]_{k}=0\qquad (k\geq 3)$

로 놓으면, $({\mathfrak {g}},\mathrm {d} ,[-,-])$가 만족시켜야 하는 항등식들은 미분 등급 리 대수의 정의와 일치한다. 즉, 3항 이상의 괄호들이 모두 0이라면, 2항 괄호의 야코비 항등식이 정확히 성립한다.

특히, 만약 추가로 $[-]_{1}=\mathrm {d} =0$일 경우, 이는 등급 리 초대수를 이루며, 만약 모든 등급이 짝수라면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

리 $n$-대수

L_∞-대수에서, 모든 생성원의 등급이 $\{0,1,\dotsc ,n\}$에 속하는 경우를 리 $n$-대수라고 한다. 이 경우,

$n\geq \deg[a_{1},\dotsc ,a_{k}]_{k}\geq k-2$

이므로,

$[-,\dotsc ,-]_{k}=0\qquad (k>n+2)$

이다.

예를 들어, $n=1$일 경우, 오직 1항 · 2항 · 3항 연산만이 자명하지 않다.

특히, $n=0$인 경우, 1항 연산 또한 등급에 의하여 0이 되므로, 이 개념은 리 대수의 개념과 동치이다.

거스틴해버 대수

 이 부분의 본문은 거스틴해버 대수입니다.

모든 거스틴해버 대수는 L_∞-대수를 이룬다.

외부 링크

• “L-infinity-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Super L-infinity algebra”. 《nLab》 (영어).