미분 (대수학)

추상대수학에서, 미분(微分, derivation)은 대수에 대한, 곱셈 법칙을 만족하는 연산이다. 해석학에서의 미분 연산을 공리화한 개념이다.

정의

$K$가 체이고, $A$가 $K$ 위의 대수(곱셈 연산 $A\times A\to A$가 정의된 $K$-벡터 공간)라고 하자. 그렇다면 $A$에 대한 미분은 다음 공리를 만족하는 연산자 $D\colon A\to A$이다.

• (선형성) $\alpha,\beta\in K$, $a,b\in A$이면 $D(\alpha a+\beta b)=\alpha Da+\beta Db$.
• (곱셈 법칙) $a,b\in A$이면 $D(ab)=(Da)b+a(Db)$이다.

예

• 매끈한 함수 $\mathbb R\to\mathbb R$의 집합은 대수를 이룬다. 이 경우 일반적인 미분 연산 $d/dx$은 (대수적으로) 미분을 이룬다.
• $A$가 임의의 대수라고 하고, $a\in A$이면 $D_a\colon b\mapsto ab-ba$는 미분을 이룬다.