거스틴해버 대수

추상대수학과 대수적 위상수학 및 양자장론에서 거스틴해버 대수(영어: Gerstenhaber algebra)는 결합 법칙을 만족시키는 대수와 리 대수의 구조를 합친 대수 구조의 하나이다.

정의

거스틴해버 대수 $A$는 $\mathbb {Z}$ 등급을 갖는 대수이다.

$A=\bigoplus _{p\in \mathbb {Z} }(A_{+}^{p}\oplus A_{-}^{p})$

이 위에 정의된 연산들은 다음과 같다.

• 곱 $\cdot$은 초교환 법칙 · 결합 법칙을 만족시키는, 등급 0의 이항 연산이다.
• 리 괄호 $[,]$은 등급 −1의 이항 연산이며, 이는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.
  • (초교환 법칙) $[a,b]=-(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}[b,a]$
  • (야코비 항등식) $[a,[b,c]]=[[a,b],c]+(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}[b,[a,c]]$
• 곱과 리 괄호는 다음과 같은 푸아송 항등식을 만족시킨다.
  • $[a,bc]=[a,b]c+(-1)^{(\deg a-1)\deg b}b[a,c]$

호모토피 거스틴해버 대수

호모토피 거스틴해버 대수(영어: homotopy Gerstenhaber algebra, G_∞-algebra, braid algebra, 2-algebra)는 역시 $\mathbb {Z}$ 등급을 갖는 대수이다.^:57 이 위에는 모든

$n=n_{1}+\cdots +n_{k}\qquad (n_{i}\geq 1,k\geq 1)$

에 대하여, $n$항 연산 $m_{n_{1},\dots ,n_{k}}$이 존재하며, 이는 등급 $3-n-k$을 갖는다.

처음 몇 연산들은 다음과 같다.

• 1항 연산은 하나밖에 없으며, 보통 $m_{1}=d$로 쓴다. 이는 등급 1의 연산자이며, 공사슬 복합체의 공경계이다.
• 2항 연산은 두 개가 있다. 보통 $m_{2}=\cdot$, $m_{1,1}=\circ$로 쓴다.
• 3항 연산은 4개가 있으며, $m_{1,1,1}$, $m_{1,2}$, $m_{2,1}$, $m_{3}$이다.

이들 사이의 처음 몇 개의 항등식들은 다음과 같다.

• (멱영성) $d^{2}=0$
• (곱 규칙) $d(ab)=(da)b+a(db)$
• (호모토피 결합 법칙) $a(bc)-(ab)c=m_{3}(da,b,c)+(-1)^{\deg a}m_{3}(a,db,c)+(-1)^{\deg a+\deg b}m_{3}(a,b,dc)$
• (호모토피 교환 법칙) $ab-(-1)^{\deg a\deg b}ba=d(a\circ b)-da\circ b-(-1)^{\deg a-1}a\circ db$
• $(a\circ b)\circ c-a\circ (b\circ c)+m_{2,1}(a,b;c)-(-1)^{(\deg a-1)(\deg b-1)}m_{2,1}(b,a;c)+(-1)^{(\deg b-1)(\deg c-1)}m_{1,2}(a;c,b)-m_{1,2}(a,b,c)=dm_{1,1,1}(a;b;c)-m_{1,1,1}(da;b;c)-(-1)^{\deg a-1}(a;db;c)-(-1)^{\deg a+\deg b}m_{1,1,1}(a;b;dc)$

성질

호모토피 거스틴해버 대수는 A_∞-대수(결합 대수의 호모토피화)와 호모토피 리 대수의 공통적인 일반화이다.

• 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들 $m_{n_{1},\dots ,n_{k}}$ 가운데, $k=1$인 연산들은 A_∞-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 A_∞-대수이다.
• 호모토피 거스틴해버 대수의 연산들 $m_{n_{1},\dots ,n_{k}}$ 가운데, $k=n$인 연산들의 완전 등급 반대칭화는 L_∞-대수의 항등식들을 만족시킨다. 즉, 거스틴해버 대수는 추가 구조를 갖는 L_∞-대수이다.

거스틴해버 대수는 호모토피 거스틴해버 대수의 특수한 경우이다. 호모토피 거스틴해버 대수 $A$에서, 2항 연산이 아닌 모든 연산이 0이며, 또한

$a\circ b-(-1)^{\deg a\deg b}b\circ a=[a,b]$

$a\circ b+(-1)^{\deg a\deg b}b\circ a=0$

이라면, $(A,\cdot ,[,])$은 거스틴해버 대수를 이룬다. 또한, 일반적인 호모토피 거스틴해버 대수의 코호몰로지는 거스틴해버 대수를 이룬다.

예

결합 법칙을 따르는 대수 $A$의 호흐실트 코호몰로지 $H^{\bullet }(A,A)$는 거스틴해버 대수를 이루며, 호흐실트 공사슬들의 대수는 호모토피 거스틴해버 대수를 이룬다. 또한, 위상 꼭짓점 연산자 대수 역시 자연스럽게 호모토피 거스틴해버 대수를 이루며, 여기에 BRST 양자화로 물리적인 상태들로 구성된 코호몰로지를 취하면 이 위에는 거스틴해버 대수의 구조가 존재한다.

바탈린-빌코비스키 대수는 추가 구조 ($\Delta$ 연산자)를 갖춘 거스틴해버 대수이다.

리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 외대수 $\bigwedge ^{\bullet }{\mathfrak {g}}$는 자연스럽게 거스틴해버 대수의 구조를 갖는다.

역사

머리 거스틴해버

머리 거스틴해버(영어: Murray Gerstenhaber)가 도입하였다.

외부 링크

• “Poisson algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

같이 보기

• 바탈린-빌코비스키 대수
• A∞-대수