리 초대수

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리 초대수(Lie 超代數, 영어: Lie superalgebra)는 리 대수에 Z₂ 차수를 주어 일반화한 수학적 구조다. 초대칭이나 BRST 대칭 따위를 수학적으로 다룰 때 쓰인다. (푸앵카레) 초대칭에서는 짝수 차수가 보존을, 홀수 차수가 페르미온을 나타낸다. (그러나 BRST에서는 그 반대다.)

정의[편집]

리 초대수는 다음 두 공리를 만족하는, 가환환(대개 실수복소수)에 대한 Z2차수 붙은 대수다. (이는 일반적인 리 대수의 공리를 차수를 고려하여 일반화한 것이다.)

여기서 x, y, z는 순수하게 차수를 지니는 대수의 원소다. |x|는 차수를 뜻한다. 리 괄호의 차수는 다음과 같다.

|[x,y]|=|x|+|y|\text{ mod }2 \;

벡터공간으로서, 리 초대수 \mathfrak g는 그 차수가 0(보손)인 부분공간 \mathfrak g_0과 차수가 1(페르미온)인 부분공간 \mathfrak g_1직합이다. 이렇게 분해하면, \mathfrak g_0리 대수를 이루고, \mathfrak g_1\mathfrak g_0표현을 이룬다. 또한, \mathfrak g_1은 다음과 같은 가환 비결합 괄호

\{\cdot,\cdot\}\colon\mathfrak g_1\otimes\mathfrak g_1\to\mathfrak g_0

를 가진다.

분류[편집]

고전적(classical) 단순(simple) 복소 리 초대수의 목록은 다음과 같다.

이름 기호 조건 보손 부분대수 보손 차원 페르미온 표현 페르미온 차원
특수선형(special linear) \mathfrak{sl}(m|n) 1\le m<n \mathfrak{sl}(m)\oplus\mathfrak{sl}(n)\oplus\mathfrak{u}(1) m^2+n^2-1 (\mathbf n,\bar{\mathbf m})\oplus(\bar{\mathbf n},\mathbf m)
2mn
사영특수선형(projective special linear) \mathfrak{psl}(m|m) m\ge2 \mathfrak{sl}(m)\oplus\mathfrak{sl}(m) 2n^2-2 (\mathbf m,\bar{\mathbf m})\oplus(\bar{\mathbf m},\mathbf m) 2m^2
직교심플렉틱(orthosymplectic) \mathfrak{osp}(m|2n) m\ge1, n\ge1 \mathfrak{so}(m)\oplus\mathfrak{sp}(2n) m(m-1)/2+n(2n+1) (\mathbf n,\mathbf{2m}) 2mn
이상한(queer) \mathfrak{q}(n) n\ge3 \mathfrak{sl}(n)\oplus\mathfrak u(1) n^2 \mathbf{(n^2-1)} n^2-1
페리플렉틱(periplectic) \mathfrak p(n) n\ge3 \mathfrak{sl}(n)\oplus\mathfrak u(1) n^2 \mathbf n^{\text{sym}\otimes2}\oplus\bar{\mathbf n}^{\wedge2} n^2
예외 \mathfrak d(2|1;\alpha) \alpha\ne0,-1,+1 \mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{sl}(2) 9 (\mathbf2,\mathbf2,\mathbf2) 8
예외 \mathfrak f(3|1) \mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{so}(7) 24 (\mathbf2,\mathbf8) 16
예외 \mathfrak g(3) \mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{g}_2 17 (\mathbf 2,\mathbf 7) 14

위 표에서 \mathbf r^{\text{sym}\otimes2}\mathbf r\otimes\mathbf r의 대칭 성분이고, \mathbf r^{\wedge2}\mathbf r\otimes\mathbf r의 반대칭 성분이다.

이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다.

  • \mathfrak{sl}(2|1)=\mathfrak{osp}(2|2)
  • \mathfrak d(2|1;1)=\mathfrak{osp}(4,2)

또한 \mathfrak d(2|1;\alpha)의 경우 \alpha에 대하여 여러 동형이 존재한다. 이 밖에 고전 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.

이 밖에도, 카르탕 형 대수(영어: Cartan-type algebra) 또는 초고전적 대수(영어: hyperclassical algebra)라고 불리는 단순 리 초대수 W(n), S(n), \tilde S(n), H(n)이 존재한다. 이들의 보손 부분공간은 리 대수를 이루지 않는다.

응용[편집]

리 초대수는 이론물리학에서 쓰인다.

BRST 대칭[편집]

게이지 이론은 BRST 대칭이라는 대칭을 지닌다. BRST 초대수는 0|1차원 초대수이며, 그 페르미온 생성원 Q의 초괄호는 다음과 같다.

\{Q,Q\}=0

즉, 이는 멱영(영어: nilpotent) 리 초대수이다.

초대칭[편집]

초대칭 이론들은 시공간의 대칭들과 초대칭들을 포함하는 리 초대수를 대칭으로 가진다. 이들 대수의 보손 생성원은 푸앵카레 군R대칭에 해당하고, 페르미온 생성원은 초대칭에 해당한다.

만약 이론이 초대칭과 등각대칭을 둘 다 가질 경우, 이 두 대칭군은 초등각대칭군이라는 하나의 초군을 생성시킨다. 대표적으로, 4차원 민코프스키 \mathcal N=4 초등각대칭군은 단순초군 PSU(2,2|4)이다. 이 초군은 AdS/CFT 대응성에서 등장한다.

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]