리 초대수

초대칭

기본 개념
초공간 초장 초대칭 대수 초등각 대수
초대칭 이론
베스-추미노 모형 초대칭 양자전기역학 초대칭 게이지 이론 최소 초대칭 표준 모형 차등 최소 초대칭 표준 모형 초대칭 대통일 이론 초중력 갈린 초대칭 초끈 이론
초대칭 파괴
최소 초중력 페예-일리오풀로스 모형 오라퍼티 모형
불가능성 정리
콜먼-맨듈라 정리 하크-워푸샨스키-조니우스 정리
수학적 구조
초다양체 리 초군과 리 초대수 초행렬식과 초대각합 켈러 다양체

리 초대수(Lie 超代數, 영어: Lie superalgebra)는 리 대수에 Z₂ 차수를 주어 일반화한 수학적 구조다. 초대칭이나 BRST 대칭 따위를 수학적으로 다룰 때 쓰인다. (푸앵카레) 초대칭에서는 짝수 차수가 보존을, 홀수 차수가 페르미온을 나타낸다. (그러나 BRST에서는 그 반대다.)

정의

리 초대수는 다음 두 공리를 만족하는, 가환환(대개 ℝ나 ℂ)에 대한 Z₂차수 붙은 대수다. (이는 일반적인 리 대수의 공리를 차수를 고려하여 일반화한 것이다.)

• $[x,y]+(-1)^{|x||y|}[y,x]=0 \;$ (반(skew)대칭)
• $(-1)^{|z| |x|}[x,[y,z]]+(-1)^{|x| |y|}[y,[z,x]]+(-1)^{|y| |z|}[z,[x,y]]=0 \;$ (야코비 항등식)

여기서 x, y, z는 순수하게 차수를 지니는 대수의 원소다. |x|는 차수를 뜻한다. 리 괄호의 차수는 다음과 같다.

$|[x,y]|=|x|+|y|\text{ mod }2 \;$

같이 보기

• 초대칭
• 초공간
• 초군