미분 등급 리 대수

수학에서 미분 등급 리 대수(微分等級Lie代數, 영어: differential graded Lie algebra)는 서로 호환되는 공사슬 복합체와 리 초대수의 구조를 갖는 수학 구조이다. 호모토피 이론과 대수기하학에서 사용된다.

정의

가환환 $K$가 주어졌다고 하자. $K$ 위의 미분 등급 리 대수 $(L^{\bullet },\mathrm {d} ,[,])$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $K$-공사슬 복합체 $\textstyle L=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }L^{i}$, $\mathrm {d} \colon L^{i}\to L^{i+1}$. 즉,
  • 각 $L^{i}$는 $K$-가군이다.
  • $\mathrm {d} \circ \mathrm {d} =0$이다.
• $\textstyle L^{+}=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }L^{2i}$, $\textstyle L^{-}=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }L^{2i+1}$ 위의 $K$-리 초대수 구조 $[-,-]$. 즉, 다음이 성립한다.
  • $[x,x]=0\qquad (x\in L^{+})$
  • $[x,[x,x]]=0\qquad (x\in L^{-})$
  • (교환 법칙) $[x,y]+(-)^{ij}[y,x]=0\qquad (x\in L^{i},\;y\in L^{j})$
  • (야코비 항등식) $(-)^{ki}[x,[y,z]]+(-)^{ij}[y,[z,x]]+(-)^{jk}[z,[x,y]]=0\qquad (x\in L^{i},\;y\in L^{j},\;z\in L^{k})$

이 데이터는 다음과 같은 두 호환 조건을 만족시켜야 한다.

• (차수) $[x,y]\in L^{i+j}\qquad (x\in L^{i},\;y\in L^{j})$
• (곱 규칙) $\mathrm {d} [x,y]=[\mathrm {d} x,y]+(-)^{i}[x,\mathrm {d} y]\qquad (x\in L^{i},\;y\in L^{j})$

참고 문헌

• Quillen, Daniel (1969년 9월). “Rational homotopy theory”. 《The Annals of Mathematics》 (영어) 90 (2): 205–295. doi:10.2307/1970725. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970725. 

외부 링크

• “Differential graded Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on dg-Lie algebras”. 《nLab》 (영어).