당김

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미분기하학에서, 당김(pullback)이란 한 다양체 위에 정의된 공변(covariant) 텐서를 다른 다양체 위에 옮겨 정의하는 방법이다.

두 매끈한 미분다양체 사이의 매끈한 함수 \phi\colon M\to N이 주어지면, N 위에 존재하는 모든 공변 텐서 (즉, 첨자가 모두 아랫첨자인 경우) T=T_{\mu\nu\rho\dots}에 대하여, M 위에 대응하는 텐서 \Phi^*T를 정의할 수 있다. 이를 T의 당김이라고 한다. 특히, 미분형식이나 (스칼라) 함수는 공변 텐서의 특수한 경우이므로, 이들을 다른 다양체로 당길 수 있다.

정의[편집]

\phi\colon M\to N을 미분가능한 함수라고 하고, \omega(v_1,\dots,v_k)k차 공변 텐서(k개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라고 하자. 그렇다면 이 데이터로부터 M 위에 정의된 k차 텐서 \phi^*\omega를 다음과 같이 정할 수 있다.

(\phi^*\omega)(v_1,\dots,v_k ) = \omega _{f(p)} (d\phi_p(v_1), \dots,d\phi_p(v_k)).

여기서 p\in M, v_i\in T_pM (점 p에서의 접공간), d\phi_p\colon T_pM\to T_pN은 점 p에서 \phi미분이다.

(스칼라) 함수는 0차 공변 텐서이다. 이 경우, 함수 f의 당김은 함수의 합성과 같다. 즉,

\phi^*f=f\circ\phi

이다.

성질[편집]

f : RnRm, g : RpRn 를 미분가능한 함수, α 와 β 를 Rm 에서의 k-형식, γ : RmRRm 에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.

  •  f^* (\alpha + \beta ) = f^* (\alpha)  + f^* (\beta) \;
  •  f^* (\gamma \alpha)  =  f^*(\gamma) f^*(\alpha) \;
  •  f^* (\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_k) = f^* (\alpha_1) \wedge \cdots \wedge f^* (\alpha_k) \;
여기서 α1, …, αkRm 에서의 1-형식이고 ∧ 는 쐐기곱이다.
  •  f^* (\alpha \wedge \beta) = f^* (\alpha) \wedge f^* (\beta)
여기선 α 와 β 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.
  •  (f \circ g) ^* \alpha = g^* ( f^* \alpha)

참고문헌[편집]

  • Manfredo P. do Carmo (1994). 《Differential Forms and Applications》. Springer-Verlag