연관 다발

위상수학에서 연관 다발(聯關-, 영어: associated bundle)은 위상군의 작용을 갖는 위상 공간 및 같은 위상군에 대한 주다발로부터 구성되는, 전자를 올로 갖는 올다발이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$
• 위상군 $G$
• $G$-주다발 $\pi \colon P\to X$
• 위상 공간 $F$
• $G$의, 위상 공간 $F$ 위의 연속 왼쪽 작용 $\rho \colon G\times F\to F$

그렇다면, 다음과 같은 위상 공간을 생각하자.

$E=P\times _{G}F={\frac {P\times F}{(p,g\cdot f)\sim (p\cdot g,f)}}$

이는 사영 함수

$\pi \colon [(p,v)]\mapsto p$

를 통해, 올이 $F$인, $X$ 위의 올다발을 이룬다. 이를 연관 다발이라고 한다.

연관 벡터 다발

특히, $F$가 유한 차원 실수 벡터 공간이며, $\rho \colon G\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )$가 $G$의 연속 유한 차원 실수 표현이라고 하자. 그렇다면, 연관 다발 $E$ 위에는 $V$로부터 오는, 표준적인 $B$ 위의 벡터 다발 구조가 존재한다. 즉, 각 올 $E_{x}$ 위에는 벡터 공간 구조

$t[(p,v)]=[(p,tv)]\qquad (p\in P,\;v\in V,\;t\in \mathbb {R} )$

$[(p,v)]+[(p\cdot g^{-1},v')]=[(p,v+\rho (g)v')]\qquad (p\in P,\;v,v'\in V,\;g\in G)$

가 주어진다. 이를 $(X,G,P,V,\pi ,\rho )$의 연관 벡터 다발(영어: associated vector bundle)이라고 한다.

예

$G=\{\pm 1\}$가 2차 순환군이며,

$X=\mathbb {S} ^{1}={\frac {\mathbb {R} }{t\sim t+1\;\forall t\in \mathbb {R} }}$

가 원이라고 하자. 그렇다면, 원의 2겹 피복 공간

$\pi \colon \mathbb {S} ^{1}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{1}$

$\pi \colon [t]\mapsto [2t]$

은 자연스럽게 $G$-주다발을 이룬다. 즉, 그 위의 $G$-작용은 다음과 같다.

$g\colon [t]\mapsto \left[t+{\frac {1-g}{2}}\right]\qquad (g\in \{\pm 1\})$

$G$는 자연스러운 1차원 실수 표현

$g\cdot a=ga\qquad (g\in \{\pm 1\},\;a\in \mathbb {R} )$

을 가지며, 이에 대한 연관 벡터 다발은 (원 위의 1차원 벡터 다발로 여긴) 뫼비우스의 띠이다.

외부 링크

• “Associated bundle”. 《nLab》 (영어).