리 대수의 표현

리 대수의 표현(Lie代數-表現, 영어: representation of a Lie algebra)은 주어진 리 대수를 벡터공간의 선형변환의 리 대수의 부분대수로 나타내는 준동형사상이다. 군의 표현과 유사한 개념이다. 특히, 대응되는 리 군의 표현과 밀접한 관계를 지닌다.

정의

체 $\mathbb F$에 대한 리 대수 $\mathfrak g$의, 같은 체 $\mathbb F$에 대한 벡터공간 $V$ 위의표현 은 리 대수 준동형사상 $\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)$이다. 여기서 $\mathfrak{gl}(V)$는 자기준동형사상(endomorphism)의 리 대수다. ($V$가 유한차원인 경우, 그 자기준동형사상은 행렬이다.)

딸림표현

리 대수의 딸림표현(영어: adjoint representation)은 이를 스스로 위에 표현한 것이다. 다음과 같다. 리 대수 $\mathfrak g$가 주어지면, 딸림표현 $\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(\mathfrak g)$를 $\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y]$와 같이 정의한다. 이는 리 대수를 이루며, 모든 리 대수는 딸림표현을 지닌다.

무게

표현 $\rho\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)$의 무게(영어: weight)는 카르탕 부분대수의 (표현에 따른 행렬로서의) 어느 한 공통적 고유벡터의 고유값들의 모임이다. 즉, 카르탕 부분대수를 $\mathfrak h\subset\mathfrak g$로 쓰면, $\rho$의 무게 $\lambda\in\mathfrak h^*$는 적어도 하나의 0이 아닌 $v\in V$가 모든 $\xi\in\mathfrak h$에 대하여 $\rho(\xi)v=\lambda(\xi)v$를 만족한다.

딸림표현의 무게의 집합은 근계를 이룬다. 통상적으로 "리 대수의 근"이라는 것은 그 딸림표현의 근계의 원소를 일컫는다.

참고 문헌

• J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Birkhäuser, 2000

함께 보기

• 리 대수
• 근계