리 대수의 표현

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리 대수의 표현(Lie代數-表現, 영어: representation of a Lie algebra)은 주어진 리 대수벡터공간선형변환의 리 대수의 부분대수로 나타내는 준동형사상이다. 군의 표현과 유사한 개념이다. 특히, 대응되는 리 군의 표현과 밀접한 관계를 지닌다.

정의[편집]

\mathbb F에 대한 리 대수 \mathfrak g의, 같은 체 \mathbb F에 대한 벡터공간 V 위의표현 은 리 대수 준동형사상 \mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)이다. 여기서 \mathfrak{gl}(V)자기준동형사상(endomorphism)의 리 대수다. (V가 유한차원인 경우, 그 자기준동형사상은 행렬이다.)

딸림표현[편집]

리 대수의 딸림표현(영어: adjoint representation)은 이를 스스로 위에 표현한 것이다. 다음과 같다. 리 대수 \mathfrak g가 주어지면, 딸림표현 \operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(\mathfrak g)\operatorname{ad}(x)\colon y\mapsto[x,y]와 같이 정의한다. 이는 리 대수를 이루며, 모든 리 대수는 딸림표현을 지닌다.

무게[편집]

표현 \rho\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)무게(영어: weight)는 카르탕 부분대수의 (표현에 따른 행렬로서의) 어느 한 공통적 고유벡터고유값들의 모임이다. 즉, 카르탕 부분대수\mathfrak h\subset\mathfrak g로 쓰면, \rho의 무게 \lambda\in\mathfrak h^*[1]는 적어도 하나의 0이 아닌 v\in V가 모든 \xi\in\mathfrak h에 대하여 \rho(\xi)v=\lambda(\xi)v를 만족한다.

딸림표현의 무게의 집합은 근계를 이룬다. 통상적으로 "리 대수의 근"이라는 것은 그 딸림표현의 근계의 원소를 일컫는다.

참고 문헌[편집]

  • J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Birkhäuser, 2000

주석[편집]

  1. (대수적) 쌍대벡터공간

함께 보기[편집]