근계

근계(根系, 영어: root system)는 일련의 기하학적 성질을 만족하는 유한차원 벡터의 집합으로, 리 대수의 분류에 쓰인다. 근계의 원소인 벡터는 근(根, 영어: root)이라고 부른다. 주어진 근계에 대하여 특정 성질을 만족하는 부분집합인 단순근(영어: simple root)의 집합을 고를 수 있고, 이를 딘킨 도표(영어: Dynkin diagram)로 나타내어 분류할 수 있다.

모든 근계는 기약근계(영어: irreducible root system)의 합으로 나타낼 수 있다. 기약근계는 기약 리 대수와 일대일로 대응한다.

정의

유한차원 실수 내적공간 (유클리드 공간) $(V,\cdot)$를 생각하자. 근계 $\Phi\subset V$는 다음 조건을 만족하고, 영벡터를 포함하지 않는 유한부분집합이다.

• $\operatorname{Span}(\Phi)=V$
• 임의의 $r\in\mathbb R$과 $\alpha\in\Phi$에 대하여, $r\alpha\in\Phi$이면 $r=\pm1$
• 임의의 $\alpha,\beta\in\Phi$에 대하여,

$\beta-2\frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}\alpha \in \Phi$.

• 임의의 $\alpha,\beta\in\Phi$에 대하여,

$2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z}$.

여기서 세 번째 조건은 $\beta$를 $\alpha$에 대하여 수직인 초평면에 대하여 반사한 것으로, 네 번째 조건은 $\beta$를 $\alpha$를 지나는 직선에 사영한 길이와 $\alpha$의 길이의 비(의 두 배)로 이해할 수 있다. 근계의 원소는 근이라고 부른다. 근계의 계수(階數, 영어: rank)는 $V$의 차원이다.

두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.

$\mathbb Z\ni2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)} \cdot 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\beta,\beta)} = 4 \frac{(\alpha,\beta)^2}{\vert \alpha \vert^2 \vert \beta \vert^2} = 4 \cos^2(\theta) = (2\cos(\theta))^2.$

$2\cos(\theta) \in [-2,2]$이므로,

$\cos\theta=0, \pm \tfrac{1}{2}, \pm\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \pm1$

이다. 즉 $\theta$는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다.

두 근계 $\Phi\subset V$, $\Phi'\subset V'$의 합은 다음과 같다. 직합 $W=V\oplus V'$, $\iota\colon V\to W$, $\iota'\colon V'\to W$가 주어지면, $\Phi\oplus\Phi'$는 $\iota(\Phi)\cup\iota'(\Phi')\subset W$로 정의한다. 기약근계(旣約根系, 영어: irreducible root system)는 두 (자명하지 않은) 근계의 합이 아닌, 자명하지 않은 근계다. 모든 근계는 기약근계의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

기약근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 긴 근(영어: long root), 짧은 것은 짧은 근(영어: short root)으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.)

양의 근과 단순근

근계 $\Phi$의 양의 근의 집합(영어: set of positive roots) $\Phi^+\subset\Phi$는 다음을 만족하는 부분집합이다.

• 임의의 $\alpha\in\Phi$에 대하여, $\alpha\in\Phi^+$이거나 $-\alpha\in\Phi^+$이지만, $\{\alpha,-\alpha\}\subset\Phi^+$는 아니다.
• $\alpha,\beta\in\Phi^+$이고, $\alpha+\beta\in\Phi$이면 $\alpha+\beta\in\Phi^+$이다.

어떤 양의 근의 집합에 대하여, 단순근(單純根, 영어: simple root)은 두 양의 근의 합으로 나타낼 수 없는 근이다. 단순근은 $V$의 기저를 이룬다.

딘킨 도표

기약근계의 딘킨 도표

각 기약근계는 딘킨 도표(영어: Dynkin diagram)로 나타낼 수 있다. 단순근의 집합 $\Delta\subset\Phi$를 고르자. 딘킨 도표의 각 꼭지점은 단순근에 대응한다. 서로 직교하지 않는 두 단순근 사이에는 변(邊)을 그린다. 그 변의 종류는 다음과 같다.

근 사이 각 (라디안)	변의 종류
$2\pi/3$	하나의 변
$3\pi/4$	두 개의 변 + 화살표
$5\pi/6$	세 개의 변 + 화살표

여기서 화살표는 더 짧은 근을 가리킨다.

딘킨 도표는 단순군의 선택에 관계없이 동일하다.

기약근계의 종류

근계	근의 수	짧은 근의 수	긴 근의 부분격자의 지표	카르탕 행렬식	바일군의 크기
An (n ≥ 1)	n(n + 1)			n + 1	(n + 1)!
Bn (n ≥ 2)	2n2	2n	2	2	2n n!
Cn (n ≥ 3)	2n2	2n(n − 1)	2	2	2n n!
Dn (n ≥ 4)	2n(n − 1)			4	2n − 1 n!
E6	72			3	51840
E7	126			2	2903040
E8	240			1	696729600
F4	48	24	4	1	1152
G2	12	6	3	1	12

기약근계는 다음과 같이 분류한다. 고전근계(영어: classical root system)는 네 개의 족(family) $A_n$, $B_n$, $C_n$, $D_n$ ($n\in\mathbb Z^+$)으로 나뉘고, 나머지로 다섯 개의 예외근계(영어: exceptional root system) $G_2, F_4, E_6, E_7, E_8$이 있다. 그 아래첨자는 근계의 계수다. 고전근계는 고전군(직교군, 특수유니타리군, 심플렉틱군)의 리 대수(의 복소화)의 근계이나, 예외근계는 그렇지 않다. 자세한 사항은 옆의 표를 참고하라. 그 단순근은 다음과 같다. (이들은 관례를 따라 긴 근의 길이가 $\sqrt2$가 되도록 정규화하였다.)

A₃

1	−1	0	0
0	1	−1	0
0	0	1	−1

B₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	-1
0	0	0	1

C₄

$1/\sqrt2$	$-1/\sqrt2$	0	0
0	$1/\sqrt2$	$-1/\sqrt2$	0
0	0	$1/\sqrt2$	$-1/\sqrt2$
0	0	0	$\sqrt2$

D₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	-1
0	0	1	1

E₈

1	-1	0	0	0	0	0	0
0	1	-1	0	0	0	0	0
0	0	1	-1	0	0	0	0
0	0	0	1	-1	0	0	0
0	0	0	0	1	-1	0	0
0	0	0	0	0	1	-1	0
0	0	0	0	0	1	1	0
-½	-½	-½	-½	-½	-½	-½	-½

F₄

1	-1	0	0
0	1	-1	0
0	0	1	0
-½	-½	-½	-½

G₂

$\sqrt{2/3}$	0
$-\sqrt{3/2}$	$1/\sqrt2$

참고 문헌

• Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.