근계

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예외 리 군 G2의 근계. \alpha\beta는 단순근이다.

리 군 이론에서, 근계(根系, 영어: root system)는 일련의 기하학적 성질을 만족하는 유한차원 벡터의 집합이다. 근계의 원소인 벡터는 (根, 영어: root)이라고 부른다. 주어진 근계에 대하여 특정 성질을 만족하는 부분집합인 단순근(영어: simple root)의 집합을 고를 수 있고, 이를 딘킨 도표(영어: Dynkin diagram)로 나타내어 분류할 수 있다. 반단순 리 군에 근계를 대응시킬 수 있으며, 이를 통해 반단순 리 군들을 분류할 수 있다.

모든 근계는 기약근계(영어: irreducible root system)의 합으로 나타낼 수 있다. 기약근계는 단순 리 대수와 일대일로 대응한다.

정의[편집]

내적 (\cdot,\cdot)을 갖춘 유클리드 공간 V를 생각하자. 근계 \Phi는 다음 조건을 만족하고, 영벡터를 포함하지 않는 V의 유한부분집합이다.

  1. (선형생성) V의 모든 원소는 \Phi의 원소들의 선형결합으로 나타낼 수 있다. (이는 유일하지 않을 수 있다.)
  2. (스칼라배의 제한) \alpha\in\Phi라면, -\alpha\in\Phi이고, 그 밖의 다른 스칼라배 r\Phi (r\in\mathbb R)는 \Phi의 원소가 아니다.
  3. (반사에 대한 닫힘) 임의의 \alpha,\beta\in\Phi에 대하여, \alpha에 대하여 수직인 초평면에 대한 \beta의 반사\beta-2\alpha(\alpha,\beta)/(\alpha,\alpha)\Phi의 원소다. 즉, 근들은 다른 근에 대한 반사에 대하여 닫혀 있다.
  4. (정수성) 임의의 \alpha,\beta\in\Phi에 대하여, 2(\alpha,\beta)/(\alpha,\alpha)는 항상 정수이다.

근계의 원소는 이라고 부른다. 근계의 계수(階數, 영어: rank)는 V의 차원이다.

근 사이의 각[편집]

정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각은 \pi/2, \pi/3, \pi/4, \pi/6 또는 이들의 여각이다.

근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.

\mathbb Z\ni2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)} \cdot 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\beta,\beta)} = 4 \frac{(\alpha,\beta)^2}{\vert \alpha \vert^2 \vert \beta \vert^2} = 4 \cos^2(\theta) = (2\cos(\theta))^2.

2\cos(\theta) \in [-2,2]이므로,

\cos\theta=0, \pm \tfrac{1}{2}, \pm\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \pm1

이다. 즉 \theta는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다.

기약근계[편집]

두 근계 \Phi\subset V, \Phi'\subset V'의 합은 다음과 같다. 직합 W=V\oplus V', \iota\colon V\to W, \iota'\colon V'\to W가 주어지면, \Phi\oplus\Phi'\iota(\Phi)\cup\iota'(\Phi')\subset W로 정의한다. 기약근계(旣約根系, 영어: irreducible root system)는 두 (자명하지 않은) 근계의 합이 아닌, 자명하지 않은 근계다. 모든 근계는 기약근계의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

기약근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 긴 근(영어: long root), 짧은 것은 짧은 근(영어: short root)으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.)

양의 근과 단순근[편집]

근계 \Phi양의 근의 집합(영어: set of positive roots) \Phi^+\subset\Phi는 다음을 만족하는 부분집합이다.

  • 임의의 \alpha\in\Phi에 대하여, \alpha\in\Phi^+이거나 -\alpha\in\Phi^+이지만, \{\alpha,-\alpha\}\subset\Phi^+는 아니다.
  • \alpha,\beta\in\Phi^+이고, \alpha+\beta\in\Phi이면 \alpha+\beta\in\Phi^+이다.

어떤 양의 근의 집합에 대하여, 단순근(單純根, 영어: simple root)은 두 양의 근의 합으로 나타낼 수 없는 근이다. 단순근은 V기저를 이룬다.

딘킨 도표[편집]

기약근계의 딘킨 도표

각 기약근계는 딘킨 도표(영어: Dynkin diagram)로 나타낼 수 있다. 단순근의 집합 \Delta\subset\Phi를 고르자. 딘킨 도표의 각 꼭지점은 단순근에 대응한다. 서로 직교하지 않는 두 단순근 사이에는 변(邊)을 그린다. 그 변의 종류는 다음과 같다.

근 사이 각 (라디안) 변의 종류
2\pi/3 하나의 변
3\pi/4 두 개의 변 + 화살표
5\pi/6 세 개의 변 + 화살표

여기서 화살표는 더 짧은 근을 가리키는 방향으로 그린다.

딘킨 도표는 단순근의 선택에 관계없이 동일하다.

기약 근계의 목록[편집]

기약 근계는 다음과 같이 분류한다. 고전근계(영어: classical root system)는 네 개의 족 A_n, B_n, C_n, D_n으로 나뉘고, 나머지로 다섯 개의 예외근계(영어: exceptional root system) G_2, F_4, E_6, E_7, E_8이 있다. 그 아래첨자는 근계의 계수다. 고전 근계는 고전군(직교군, 특수 유니터리 군, 심플렉틱 군)의 리 대수(의 복소화)의 근계이나, 예외근계는 그렇지 않다. 아래 표에서는 관례를 따라 긴 근의 길이가 \sqrt2가 되도록 정규화하였다.[1]

근계 근의 수 짧은 근의 수 긴 근의 부분격자의 지표 카르탕 행렬식 바일 군의 크기
An (n ≥ 1) n(n + 1)     n + 1 (n + 1)!
Bn (n ≥ 2) 2n2 2n 2 2 2n n!
Cn (n ≥ 3) 2n2 2n(n − 1) 2 2 2n n!
Dn (n ≥ 4) 2n(n − 1)     4 2n − 1 n!
E6 72     3 27×34×5
E7 126     2 210×34×5×7
E8 240     1 214×35×52×7
F4 48 24 4 1 27×32
G2 12 6 3 1 22×3

고전적 기약 근계[편집]

A_n형 근계의 단순근은 다음과 같다. (편의상 \mathbb R^{n+1}의 원소로 표기하였다.)

\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0)
\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0)
\vdots
\alpha^n=(0,0,\dots,1,-1)

B_n형 근계의 단순근은 다음과 같다.

\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0)
\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0)
\vdots
\alpha^{n-1}=(0,0,\dots,1,-1)
\alpha^n=(0,0,\dots,0,1)

C_n형 근계의 단순근은 다음과 같다.

\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0)
\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0)
\vdots
\alpha^{n-1}=(0,0,\dots,1,-1)
\alpha^n=(0,0,\dots,0,2)

D_n형 근계의 단순근은 다음과 같다.

\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0)
\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0)
\vdots
\alpha^{n-1}=(0,0,\dots,1,-1)
\alpha^n=(0,0,\dots,1,1)

예외적 기약 근계[편집]

예외적 기약 근계는 E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ 총 5개가 있다. 이들의 단순근들은 다음과 같다.

E8
1 -1 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 1 1 0
F4
1 -1 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 0
G2
\sqrt{2/3} 0
-\sqrt{3/2} 1/\sqrt2

낮은 차원의 근계[편집]

1차원 근계는 하나밖에 없으며, \{-\sqrt2,\sqrt2\}\subset\mathbb R이다.

2차원 근계는 총 6개가 있으며, 이들 가운데 5개는 기약 근계이다.

Root system A1 + A1 Root system A2 Root system B2
A_1 \times A_1 A_2 B_2
Root system C2 Root system D2 Root system G2
C_2 D_2 G_2

3차원 기약 근계는 세 가지가 있으며, 이들은 정육면체·정팔면체의 모양을 가진다.

Root vectors b3 c3-d3.png

참고 문헌[편집]

  1. Polchinski, String Theory, vol. 2.
  • Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]