F₄

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F4의 딘킨 도형

F4는 예외적 단순 복소 리 군 가운데 두 번째로 작은 것이다. 52차원이며, 네 개의 단순근을 지닌다. 세 개의 실수 형식을 지닌다.

정의[편집]

F4는 여러 방법으로 정의할 수 있다. 하나는 예외적 요르단 대수를 사용하는 것이고, 다른 하나는 그 최대 부분군 Spin(9)를 사용하는 것이다.

예외적 요르단 대수와의 관계[편집]

F4의 실수 콤팩트 형식은 예외적 요르단 대수 (3×3 팔원수 에르미트 행렬 \mathcal H_3(\mathbb O))들의 대수의 자기동형사상군이다.[1][2] 예외적 요르단 대수는 27차원이고, F4는 그 위에 작용하게 되므로 F4의 27차원 표현이 존재한다. 이 가운데 대각합 부분을 제외하면 26차원 표현을 얻는다. 이는 F4의 가장 작은 자명하지 않은 복소 표현이다.

구체적으로, M\in\mathcal H_3(\mathbb O)이 3×3 팔원수 에르미트 행렬이라고 하면, F4

\operatorname{tr}(M),\operatorname{tr}(M^2),\operatorname{tr}(M^3)

을 보존시키는 SO(27)의 부분군이다.

Spin(9)와의 관계[편집]

F4Spin(9)를 부분군으로 지닌다. 이 경우, F4딸림표현 52

\mathbf{52}\to\mathbf{36}\oplus\mathbf{16}

으로 분해된다. 여기서 \mathbf{36}은 Spin(9)의 딸림표현이고, \mathbf{16}은 Spin(9)의 스피너 표현이다.

따라서, F4의 실수 콤팩트 리 대수 \mathfrak f_4는 벡터공간으로서

\mathfrak f_4=\mathfrak{so}(9)\oplus\Gamma(\mathbb R^9)

이다. 여기서 \Gamma(\mathbb R^9)는 16차원 (마요라나) 스피너 벡터공간이다. 이들은 다음과 같은 자연스러운 교환 관계를 가진다.

[J_{ij},J_{kl}]=\delta_{jk}J_{il}-\delta_{jl}J_{ik}-\delta_{ik}J_{jl}+\delta_{il}J_{jk} (\mathfrak{so}(9) 리 괄호)
[J_{ij},Q_a] = \frac14 (\gamma_i\gamma_j-\gamma_j\gamma_i)_{ab} Q_b (\mathfrak{so}(9)의 스피너 작용)

여기서 \gamma_i는 9차원에서의 디랙 행렬들이다.

여기에 나머지 스피너 교환자

[Q_a,Q_b]=\gamma^{[i}_{ac}\gamma^{j]}_{cb} J_{ij}

를 추가하면, 야코비 항등식이 만족됨을 알 수 있다.

실수 형식[편집]

F4는 세 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).

기호 다른 기호 설명 기본군 외부자기동형군
F4(−52) 콤팩트 형식 1 1
F4(4) FI 갈린(split) 형식 \mathbb Z/2\mathbb Z 1
F4(−20) FII \mathbb Z/2\mathbb Z 1

근계[편집]

The 24 vertices of 24-cell (red) and 24 vertices of its dual (yellow) represent the 48 root vectors of F4

F4근계는 48개의 근을 포함한다. 이들은 다음과 같다.

  • (±1,±1,0,0) 꼴의 근 24개 (좌표축 치환)
  • (±1, 0, 0, 0) 꼴의 근 8개 (좌표축 치환)
  • (±½, ±½, ±½, ±½) 꼴의 근 16개

이 가운데 단순근은 4개가 있다. 단순근을 고르는 한 방법은 다음과 같다.

\left [\begin{smallmatrix}
0&1&-1&0 \\
0&0&1&-1 \\
0&0&0&1 \\
\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\
\end{smallmatrix}\right ]

카르탕 행렬은 다음과 같다.


\left [\begin{smallmatrix}
2&-1&0&0\\
-1&2&-2&0\\
0&-1&2&-1\\
0&0&-1&2
\end{smallmatrix}\right ]

표현론[편집]

F4의 기약표현의 차원은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A121738).

1, 26, 52, 273, 324, 1053 (두 개), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119, 160056 (두 개), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912…

이 가운데, 기본표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현들이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Baez, John (2002년). The octonions. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 39 (2): 145–205. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR1886087. 오류 정정 Baez, John (2005년). Errata for "The octonions". 《Bulletin of the American Mathematical Society》 42 (2): 213–213. doi:10.1090/S0273-0979-05-01052-9.
  2. (영어) Yokota, Ichiro (2009년 2월). Exceptional Lie groups. arXiv:0902.0431. Bibcode2009arXiv0902.0431Y.