E₇

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수학에서, E7은 단순 리 군의 하나이다. 133차원이며, 예외적 단순 리 군 가운데 E8 다음으로 두 번째로 크다.

성질[편집]

E7은 113차원의 리 군이다. (중심이 없는) 콤팩트 형식의 기본군은 \mathbb Z/2\mathbb Z이며, 자명하지 않은 외부자기동형사상을 가지지 않는다.

실수 형식[편집]

E7은 네 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).

기호 다른 기호 설명 기본군 외부자기동형군
E7(−133) 콤팩트 형식 \mathbb Z/2\mathbb Z 1
E7(7) EV 갈린(split) 형식 \mathbb Z/4\mathbb Z \mathbb Z/2\mathbb Z
E7(−5) EVI \mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z 1
E7(−25) EVII \mathbb Z \mathbb Z/2\mathbb Z

표현론[편집]

E7기약표현의 차원들은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A121736).

1, 56, 133, 912, 1463, 1539, 6480, 7371, 8645, 24320, 27664, 40755, 51072, 86184, 150822, 152152, 238602, 253935, 293930, 320112, 362880, 365750, 573440, 617253, 861840, 885248, 915705, 980343, 2273920, 2282280, 2785552, 3424256, 3635840, …

여기서 기본표현들은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 27664365750이고, 딸림표현133이다.

E7E8의 부분군이다. 정확히 말하면, E7×SU(2)/(−1,−1)은 E8의 최대 부분군(maximal subgroup)이다. 이는 딘킨 도형으로 쉽게 확인할 수 있다. 이에 따라, E8딸림표현 248은 다음과 같이 분해된다.

\mathbf{248}\to(\mathbf{133},\mathbf{1})\oplus(\mathbf{56},\mathbf 2)\oplus(\mathbf1,\mathbf 3)

즉, E8의 딸림표현 248은 E7의 딸림표현 133과 기본표현 56 및 자명한 표현 1로 분해된다.

참고 문헌[편집]