E₈

E₈은 예외적 단순 복소 리 군 가운데 가장 큰 것이다. 다른 모든 예외적 단순 복소 리군을 부분군으로 포함한다. 세 개의 실수 형식(컴팩트, 분해(split), 그리고 또다른 형식 하나)이 있다.

역사

빌헬름 킬링(독일어: Wilhelm Karl Joseph Killing)이 1888년에 리 대수를 분류하는 도중 발견하였으나, 그 존재를 증명하지 않았다. 엘리 카르탕이 그 존재를 증명하였으며, E₈이 세 실수 형식을 지님을 보였다.

정의 및 구성

E₈의 리 대수 𝔢₈은 다음과 같이 정의할 수 있다. 𝔢₈의 고전적인 부분대수 가운데가장 큰 것은 𝔬(16)이므로, 이를 써서 정의하자. 𝔬(16)의 생성원을 $J_{ij}$로 표현하자. Spin(16)의 바일-마요라나 스피너 $Q_a$는 128차원이다. 이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.

$[J_{ij},J_{k\ell}]=\delta_{jk}J_{i\ell}-\delta_{j\ell}J_{ik}-\delta_{ik}J_{j\ell}+\delta_{i\ell}J_{jk}$

$[J_{ij},Q_a] = \frac 14 (\gamma_i\gamma_j-\gamma_j\gamma_i)_{ab} Q_b,$

여기서 $\gamma_i$는 16차원 디랙 행렬이다. 스피너 사이의 교환자를 다음과 같이 정의한다.

$[Q_a,Q_b]=\gamma^{[i}_{ac}\gamma^{j]}_{cb} J_{ij}.$

이렇게 하면 교환자가 야코비 항등식을 만족함을 보일 수 있다. 리 대수가 정의되면, 그 리 군은 리 대수의 자기동형사상군으로 정의할 수 있다.

성질

근

E₈의 딘킨 도표(영어: Dynkin diagram)은 다음과 같다.

표현론

E₈은 248차원이므로 248차원의 딸림표현(영어: adjoint representation)을 지닌다. 이는 가장 작은 자명하지 않은 기약표현이다. 다른 기약표현의 차원은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A121732).

1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (두 개가 있음), 12692520960…

부분군

E₈은 (E₇×SU(2))/ℤ₂와 (E₆×SU(3))/ℤ₃을 부분군으로 가진다. E₇×SU(2)의 경우에는 딸림표현 248은 다음과 같이 나타난다.

248 = (1,3)+(133,1)+(56,2)

여기서 133은 E₇의 딸림표현, 56은 벡터 표현이다. E₆×SU(3)의 경우에는 딸림표현은 다음과 같다.

248 = (1,8)+(78,1)+(27,3)+(27,3)

여기서 78은 E₆의 딸림표현, 27과 27은 두 벡터 표현이다.

물리적 응용

잡종 끈 이론은 변칙을 피하기 위하여 Spin(32) 또는 E₈×E₈의 게이지 군을 지닌다. 이 가운데 E₈은 E₆, 나아가 대통일군 SO(10)을 포함하므로 표준 모형 및 대통일 이론을 재현할 수 있다. 이를 축소화하면 두 E₈ 가운데 하나는 자연스럽게 E₆로 깨지게 된다.

참고 문헌

• (영어) Yokota, Ichiro (2009년 2월). Exceptional Lie groups. arXiv:0902.0431. Bibcode: 2009arXiv0902.0431Y.
• (영어) Adams, John Frank (1996년 12월). 《Lectures on exceptional Lie groups》, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press. MR1428422. ISBN 978-0-226-00526-3
• (영어) Figueroa-O’Farrill, José (2008년 11월). A geometric construction of the exceptional Lie algebras F₄ and E₈. 《Communications in Mathematical Physics》 283 (3): 663–674. doi:10.1007/s00220-008-0581-7. arXiv:0706.2829. Bibcode: 2008CMaPh.283..663F.