기본 표현

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리 군표현론에서, 기본 표현(fundamental representation)은 그 우세한 무게(dominant weight)가 다른 모든 우세한 무게들의 집합의 기저를 이루는 표현이다. 주어진 군의 임의의 표현은 기본 표현들의 조합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

성질[편집]

모든 표현은 일련의 무게(weight, 카르탕 부분군의 고윳값)들로 나타낼 수 있다. 계수(rank, 카르탕 부분군의 차원)가 k리 군의 표현은 k개의 무게를 가진다. 즉, 무게들은 k차원 벡터공간의 원소다. 여기에 임의로 정분면(orthant)을 골라, 순서를 매길 수 있다. 이에 따라 가장 큰 무게를 우세한 무게(dominant weight)라고 한다. 즉, 군의 표현은 그 우세한 무게로 나타낼 수 있다.

임의의 우세한 무게는 기본 무게(fundamental weight)라는 우세한 무게들의, 음이 아닌 정수를 계수로 하는 선형결합으로 나타낼 수 있다. 기본 무게를 우세한 무게로 가지는 표현을 기본 표현이라고 한다. 이에 따라 임의의 표현은 기본 표현들의 텐서곱의 최고 무게 성분으로 나타낼 수 있다. 기본 표현은 무게 공간의 기저를 이루므로, 기본 표현의 개수는 리 군의 계수와 같다.

단순 리 군의 기본 표현[편집]

  • An = SU(n+1) (또는 그 복소화인 SL(n+1,\mathbb C))의 경우, 기본 표현은 k차 완전 반대칭 텐서 \bigwedge^k\mathbb C^{n+1} (k=1,\dots,n)이다. 이 경우, 기본 무게는 (1,0,0,\dots,0), (1,1,0,\dots,0) …, (1,1,1,\dots,1)의 꼴이다.
  • Bn = Spin(2n+1)의 경우, 기본 표현은 2^n차원 디랙 스피너\bigwedge^k\mathbb C^{2n+1} (k=1,\dots,n-1)이다. 이 경우, 기본 무게는 (1/2,1/2,\dots,1/2) (스피너)와 (1,0,\dots,0,0), …, (1,1,\dots,1,0)이다. (물론 (1,1,\dots,1)=2(1/2,1/2,\dots,1/2)이므로 기본 표현이 아니다.)
  • Cn = USp(2n)의 경우, 기본 표현은 \bigwedge^k\mathbb C^{2n} (k=1,\dots,n)의 최고 무게 기약성분이다. 이는 \binom{2n}k-\binom{2n}{k-2} (k\ge2)차원이다. 물론 k=1인 경우는 그냥 2n차원이다.
  • Dn = Spin(2n)의 경우, 기본 표현은 2^{n-1}차원 바일 스피너 두 개와 \bigwedge^k\mathbb C^{2n} (k=1,\dots,n-2)이다. 이 경우, 기본 무게는 (1/2,1/2,\dots,1/2,\pm1/2)(1,0,\dots,0,0.0), …, (1,1,\dots,1,0,0)이다.
  • F4의 경우, 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현이다. 여기서 52차원 표현은 딸림표현이다.
  • G2의 경우, 기본 표현은 7차원 표현과 14차원 표현이다. 여기서 14차원 표현은 딸림표현이다.
  • E6의 경우, 기본 표현은 27, 27′, 78, 351, 351′, 2925차원 표현이다. 여기서 78차원 표현은 딸림표현이다.
  • E7의 경우, 기본 표현은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750차원 표현이다. 여기서 133차원 표현은 딸림표현이다.
  • E8의 경우, 기본 표현은 각각 248, 3875, 30380, 147250, 2450240, 6696000, 146325270, 6899079264차원 표현이다. 여기서 248차원 표현은 딸림표현이다.