기본 표현

리 군의 표현론에서, 기본 표현(fundamental representation)은 그 우세한 무게(dominant weight)가 다른 모든 우세한 무게들의 집합의 기저를 이루는 표현이다. 주어진 군의 임의의 표현은 기본 표현들의 조합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

성질

모든 표현은 일련의 무게(weight, 카르탕 부분군의 고유값)들로 나타낼 수 있다. 계수(rank, 카르탕 부분군의 차원)가 $k$인 리 군의 표현은 $k$개의 무게를 가진다. 즉, 무게들은 $k$차원 벡터공간의 원소다. 여기에 임의로 정분면(orthant)을 골라, 순서를 매길 수 있다. 이에 따라 가장 큰 무게를 우세한 무게(dominant weight)라고 한다. 즉, 군의 표현은 그 우세한 무게로 나타낼 수 있다.

임의의 우세한 무게는 기본 무게(fundamental weight)라는 우세한 무게들의, 음이 아닌 정수를 계수로 하는 선형결합으로 나타낼 수 있다. 기본 무게를 우세한 무게로 가지는 표현을 기본 표현이라고 한다. 이에 따라 임의의 표현은 기본 표현들의 텐서곱의 최고 무게 성분으로 나타낼 수 있다. 기본 표현은 무게 공간의 기저를 이루므로, 기본 표현의 개수는 리 군의 계수와 같다.

단순 리 군의 기본 표현

• A_n = SU(n+1) (또는 그 복소화인 $SL(n+1,\mathbb C)$)의 경우, 기본 표현은 $k$차 완전 반대칭 텐서 $\bigwedge^k\mathbb C^{n+1}$ ($k=1,\dots,n$)이다. 이 경우, 기본 무게는 $(1,0,0,\dots,0)$, $(1,1,0,\dots,0)$ …, $(1,1,1,\dots,1)$의 꼴이다.
• B_n = Spin(2n+1)의 경우, 기본 표현은 $2^n$차원 디랙 스피너와 $\bigwedge^k\mathbb C^{2n+1}$ ($k=1,\dots,n-1$)이다. 이 경우, 기본 무게는 $(1/2,1/2,\dots,1/2)$ (스피너)와 $(1,0,\dots,0,0)$, …, $(1,1,\dots,1,0)$이다. (물론 $(1,1,\dots,1)=2(1/2,1/2,\dots,1/2)$이므로 기본 표현이 아니다.)
• C_n = USp(2n)의 경우, 기본 표현은 $\bigwedge^k\mathbb C^{2n}$ ($k=1,\dots,n$)의 최고 무게 기약성분이다. 이는 $\binom{2n}k-\binom{2n}{k-2}$ ($k\ge2$)차원이다. 물론 $k=1$인 경우는 그냥 $2n$차원이다.
• D_n = Spin(2n)의 경우, 기본 표현은 $2^{n-1}$차원 바일 스피너 두 개와 $\bigwedge^k\mathbb C^{2n}$ ($k=1,\dots,n-2$)이다. 이 경우, 기본 무게는 $(1/2,1/2,\dots,1/2,\pm1/2)$와 $(1,0,\dots,0,0.0)$, …, $(1,1,\dots,1,0,0)$이다.
• F₄의 경우, 기본 표현은 26, 52, 273, 1274차원 표현이다. 여기서 52차원 표현은 딸림표현이다.
• G₂의 경우, 기본 표현은 7차원 표현과 14차원 표현이다. 여기서 14차원 표현은 딸림표현이다.
• E₆의 경우, 기본 표현은 27, 27′, 78, 351, 351′, 2925차원 표현이다. 여기서 78차원 표현은 딸림표현이다.
• E₇의 경우, 기본 표현은 56, 133, 912, 1539, 8645, 27664, 365750차원 표현이다. 여기서 133차원 표현은 딸림표현이다.
• E₈의 경우, 기본 표현은 각각 248, 3875, 30380, 147250, 2450240, 6696000, 146325270, 6899079264차원 표현이다. 여기서 248차원 표현은 딸림표현이다.