대수군

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대수기하학에서, 대수군(代數群, 영어: algebraic group)은 대수다양체를 이루는 이다.

정의[편집]

대수적으로 닫힌 체 k에 대한 대수군 G\to\operatorname{Spec}k는 군 연산

(-\cdot-)\colon G\times G\to G
{}^{-1}\colon G\to G

이 갖추어져 있고, 이들이 정규함수(regular function)인 대수다양체이다. 즉, 대수다양체의 범주에서의 군 대상이다.

대수군의 대수부분군(영어: algebraic subgroup)은 자리스키 위상에 따라 닫혀 있고, 부분군을 이루며, 대수다양체를 이루는 부분집합이다.

분류[편집]

선형대수군(영어: linear algebraic group)은 아핀 대수다양체를 이루는 대수군이며, 아벨 다양체아벨 군을 이루는 대수군이다.

슈발레 구조 정리(영어: Chevalley’s structure theorem)[1][2]에 따라서, 모든 연결 대수군 G아벨 다양체 A의 선형대수군 H으로의 군 확대로 간주할 수 있다. 즉, 모든 대수군 G에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 짧은 완전열이 존재한다.

1\to H\to G\to A

여기서

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반면, 예를 들어 유니터리 군 \operatorname{U}(n)은 복소 대수군이 아니다.

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Chevalley, C. (1960년). Une démonstration d'un théorème sur les groupes algébriques. 《Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)》 39: 307–317. MR0126447. ISSN 0021-7824.
  2. (영어) Conrad, Brian (2002년). A modern proof of Chevalley's theorem on algebraic groups. 《Journal of the Ramanujan Mathematical Society》 17 (1): 1–18. MR1906417. ISSN 0970-1249.

바깥 고리[편집]