콕서터 군

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

군론에서, 콕서터 군(Coxeter群, 영어: Coxeter group)은 일련의 반사들로 구성되는 이다. 단순 리 군바일 군은 유한 콕서터 군이며, 따라서 유한 콕서터 군은 단순 리 군과 유사하게 분류할 수 있다. 또한, 다각형이나 다면체의 반사 대칭군 또한 유한 콕서터 군이므로, 콕서터 군은 정다면체의 분류와도 관련있다.

정의[편집]

콕서터 군은 다음과 같이 표시될 수 있는 이다.

G=\langle r_1,r_2,\dots,r_n|(r_ir_j)^{m_{ij}}=1\rangle

여기서 행렬 m_{ij}는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

  • m_{ij}=1
  • 2\le m_{ij}\le\infty (i\ne j). 여기서 m_{ij}=\infty인 경우는 (r_ir_j)^{m_{ij}}=1의 꼴의 관계를 아예 적용하지 않아야 한다는 뜻이다.

이 행렬 m을 콕서터 군의 콕서터 행렬(Coxeter行列, 영어: Coxeter matrix)이라고 하고, n을 콕서터 군의 계수(階數, 영어: rank)라고 한다. 순서쌍 (G,\{r_1,r_2,\dots,r_n\})콕서터 계(Coxeter系, 영어: Coxeter system)라고 한다. 두 콕서터 군이 군으로서 동형이더라도, 서로 동형이 아닌 콕서터 계를 가질 수 있다. 예를 들어, 군으로서 BC_3\cong A_1\times A_3이지만, 이들은 서로 다른 콕서터 계를 가진다. 그러나 콕서터 군의 계수는 표시에 관계없는 불변량이다.

콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표[편집]

콕서터 군의 콕서터 행렬 M은 다른 방법으로 표기할 수 있다.

콕서터 도표(Coxeter圖表, 영어: Coxeter diagram)은 콕서터 군을 그래프로 나타내는 방법이다. 구체적으로, 이는 각 변에 유리수 p가 붙은 그래프이다.

  • 콕서터 도표의 각 꼭짓점은 어떤 거울 반사의 반사면을 나타낸다.
  • 콕서터 도표의 두 꼭짓점 사이의, 수 p가 붙은 변은 두 거울 반사 사이의 각도가 \pi/p라는 것을 뜻한다. 그림을 간략하게 하기 위하여, 통상적으로 다음과 같은 규칙을 따른다.
    • p=2인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 \pi/2=90^\circ인 경우에는 변을 통상적으로 생략한다.
    • p=3인 경우, 즉 두 변 사이에 각도가 \pi/3=60^\circ인 경우에는 변을 그리되, p를 통상적으로 생략한다.
    • p\ne2,3인 경우 통상적으로 변 및 p의 값을 생략하지 않는다.

콕서터 행렬 M에 대응하는 슐레플리 행렬(영어: Schläfli matrix) C의 성분은 다음과 같다.

C_{i,j}=-2\cos(\pi/M_{i,j})

즉, 콕서터 행렬은 두 반사면 사이의 각도의 라디안 값 \pi/p의 분모 p를 나타내는 반면, 슐레플리레 행렬은 각도의 코사인의 −2배를 표기한다.

예를 들어, 비교적 간단한 콕서터 군들의 콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표는 다음과 같다.

콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표의 예
콕서터 군 A1×A1 A2 Ĩ1 A3 BC3 D4 Ã3
콕서터 도표 \bullet\quad\bullet \bullet-\bullet \bullet\stackrel\infty-\bullet \bullet-\bullet-\bullet \bullet\stackrel4-\bullet-\bullet \bullet-\bullet<{\bullet\atop\bullet} \bullet<{\bullet\atop\bullet}>\bullet
콕서터 행렬 \left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  2 \\
 2 &  1  \\ 
\end{smallmatrix}\right) \left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  3 \\
 3 &  1  \\ 
\end{smallmatrix}\right) \left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  \infty \\
 \infty &  1  \\ 
\end{smallmatrix}\right) \left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  3 &  2 \\
 3 &  1 &  3 \\
 2 &  3 &  1 
\end{smallmatrix}\right) \left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  4 &  2 \\
 4 &  1 &  3 \\
 2 &  3 &  1 
\end{smallmatrix}\right) \left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  3 &  2 & 2 \\
 3 &  1 &  3 & 3 \\
 2 &  3 &  1 & 2\\
 2 &  3 &  2 & 1 
\end{smallmatrix}\right) \left(
\begin{smallmatrix}
 1 &  3 &  2 & 3 \\
 3 &  1 &  3 & 2 \\
 2 &  3 &  1 & 3\\
 3 &  2 &  3 & 1 
\end{smallmatrix}\right)
슐레플리 행렬 \left(
\begin{smallmatrix}
 2 &  0 \\
 0 &  2 
\end{smallmatrix}\right) \left(
\begin{smallmatrix}
 2 &  -1 \\
 -1 &  2 
\end{smallmatrix}\right) \left(
\begin{smallmatrix}
 2 &  -2 \\
 -2 &  2 
\end{smallmatrix}\right) \left(
\begin{smallmatrix}
 2 &  -1 &  0 \\
 -1 &  2 &  -1 \\
 0 &  -1 &  2 
\end{smallmatrix}\right) \left(
\begin{smallmatrix}
 2 & -\sqrt{2} &  0 \\
 -\sqrt{2} &  2 &  -1 \\
 0 &  -1 &  2 
\end{smallmatrix}\right) \left(
\begin{smallmatrix}
 2 & -1  & 0 & 0 \\
-1 &  2 &  -1 & -1 \\
 0 & -1 &  2 & 0\\
 0 & -1 &  0 & 2 
\end{smallmatrix}\right) \left(
\begin{smallmatrix}
 2 & -1  & 0 & -1 \\
-1 &  2 &  -1 & 0 \\
 0 & -1 &  2 & -1\\
-1 &  0 &  -1 & 2 
\end{smallmatrix}\right)
슐레플리 행렬의 고윳값 2, 2 1, 3 0, 4 2, 2±√2 2, 2±√3 2, 2, 2±√3 0, 2, 2, 4
분류 유한 유한 아핀 유한 유한 유한 아핀

콕서터 군은 그 슐레플리 행렬 C고윳값들에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.

성질[편집]

크기[편집]

유한 콕서터 군의 크기 g는 그 콕서터 수 h와 다음과 같이 관계있다.[1]:233

  • [p]: 2h/gp = 1
  • [p,q]: 8/gp,q = 2/p + 2/q -1
  • [p,q,r]: 64h/gp,q,r = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r
  • [p,q,r,s]: 16/gp,q,r,s = 8/gp,q,r + 8/gq,r,s + 2/(ps) - 1/p - 1/q - 1/r - 1/s +1

호몰로지[편집]

콕서터 군은 유한 개의, 차수 2의 원소들로 생성되었으므로, 그 아벨화(=1차 군 호몰로지)는 2차 순환군 \mathbb Z/2들의 유한 개의 직합이다. 콕서터 군의 슈어 승수(=2차 군 호몰로지) 역시 알려져 있다.[2][3][4]

불변량[편집]

계수 n의 유한 콕서터 군 Gn차원 (실수) 벡터 공간 V위에 자연스러운 표현을 갖는다. 이 경우, G의 작용에 대하여 불변인 다항식들의 대수 \mathbb C[V]^G을 생각할 수 있다.

이는 항상 자유 가환 단위 결합 대수(=다항식 대수)를 이룬다. 불변량 대수 \mathbb C[V]^G의 생성원들의 수는 군의 계수 n이며, 불변량 대수의 생성원(기본 불변량 영어: fundamental invariant)들의 차수는 아래 표에 제시하였다. 이들은 다음과 같은 성질을 보인다.

  • 생성원들의 차수 가운데 최댓값은 항상 콕서터 수 h이며, 최솟값은 2이다.
  • 차수 d의 생성원이 존재한다면, 차수 h+2-d의 생성원 역시 존재한다.

분류[편집]

유한 콕서터 군[편집]

유한 콕서터 군들은 모두 완전히 분류되었고, 다음 표와 같다. 두 유한 콕서터 군의 곱은 또다른 유한 콕서터 군이므로, 아래 표는 두 콕서터 군의 곱으로 나타낼 수 없는 콕서터 군들만을 나열하였다. 유한 콕서터 군의 기호에서 아랫첨자는 콕서터 군의 계수(즉, 콕서터 도표의 점의 수)와 같다.

기호 다른 기호 콕서터 표기법 콕서터 도표 크기 콕서터 수 h 관련 폴리토프 기본 불변량들의 차수
An An [3n-1] \bullet-\bullet-\cdots-\bullet (n + 1)! n + 1 n-단체 2, 3, 4, …, n + 1
BCn Cn [4,3n-2] \bullet\stackrel{4}{-}\bullet-\cdots-\bullet 2n n! 2n n-초입방체 / n-cross-polytope 2, 4, 6, …, 2n
Dn Bn [3n-3,1,1] \bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet} 2n−1 n! 2n − 2 n-demihypercube 2, 4, 6, …, 2n − 2
E6 E6 [32,2,1] {\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet 72×6! 12 221, 122 2, 5, 6, 8, 9, 12
E7 E7 [33,2,1] {{\bullet-\bullet}\atop{\qquad\bullet}}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet 72×8! 18 321, 231, 132 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8 E8 [34,2,1] {{\bullet-\bullet}\atop{\qquad\bullet}}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet 192×10! 30 421, 241, 142 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4 F4 [3,4,3] \bullet-\bullet\stackrel4-\bullet-\bullet 1152 12 24-cell 2, 6, 8, 12
H3 G3 [3,5] \bullet-\bullet\stackrel5-\bullet 120 10 정이십면체 / 정십이면체 2, 6, 10
H4 G4 [3,3,5] \bullet-\bullet-\bullet\stackrel5-\bullet 14400 30 120-cell / 600-cell 2, 12, 20, 30
I2(p) D2p [p] \bullet\stackrel p-\bullet 2p p p각형 2, p

위 목록에서, 다음과 같은 항목들이 서로 중복된다.

A_2=I_2(3)
BC_2=I_2(4)
D_3=A_3

또한, E_nH_n을 작은 n에 대하여 그대로 연장한다면 다음과 같은 항목들이 중복된다.

E_5=D_5
E_4=A_4
H_2=I_2(5)

바일 군은 유한 콕서터 군 가운데, 결정 조건(結晶條件, 영어: crystallographic condition)을 만족시키는 것이다. 여기서 결정 조건이란, 콕서터 도형의 모든 변에 대하여, 첨부된 숫자가 2, 3, 4, 또는 6 (즉, 90°, 60°, 45°, 30°)이어야 한다는 것이다. 이 경우, p=4 또는 p=6인 경우는 각각 딘킨 도표에서 변이 2겹 또는 3겹인 경우에 해당한다. 따라서, 유한 콕서터 군 가운데 바일 군인 것들은 다음 목록에 수록된 군들의 직접곱이다.

  • A_n
  • BC_n. 이들은 리 군 B_nC_n의 바일 군이다.
  • D_n
  • E_6, E_7, E_8
  • F_4
  • I_2(6). 이는 G_2의 바일 군이다.

유한 콕서터 군들의 콕서터 도표는 다음과 같다.

Finite coxeter.svg

아핀 콕서터 군[편집]

아핀 콕서터 군의 기호의 아랫첨자는 계수(콕서터 도표의 꼭짓점의 수)보다 1 작으며, 이들은 대응하는 유한 콕서터 군의 기호에 물결표(~)를 덧씌워 표기한다.

기호 비트 기호 콕서터 기호 관련 쪽매맞춤 콕서터 도표
{\tilde{A}}_n Pn+1 [3[n]] 단체 쪽매맞춤(simplectic honeycomb) \bullet<{\bullet-\cdots-\bullet\atop\bullet-\cdots-\bullet}>\bullet
{\tilde{B}}_n Sn+1 [4,3n-3,31,1] 반하이퍼큐브(demihypercube) 쪽매맞춤 \bullet\stackrel4-\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet}
{\tilde{C}}_n Rn+1 [4,3n−2,4] 하이퍼큐브 쪽매맞춤 \bullet\stackrel4-\bullet-\bullet-\cdots-\bullet-\bullet\stackrel4-\bullet
{\tilde{D}}_n Qn+1 [ 31,1,3n−4,31,1] demihypercubic honeycomb {\bullet\atop\bullet}>\bullet-\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet}
{\tilde{E}}_6 T7 [32,2,2] 222 {\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet
{\tilde{E}}_7 T8 [33,3,1] 331, 133 {\bullet-\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet
{\tilde{E}}_8 T9 [35,2,1] 521, 251, 152 {\bullet-\bullet\atop\qquad\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet
{\tilde{F}}_4 U5 [3,4,3,3] 16-cell 쪽매맞춤, 24-cell 쪽매맞춤 \bullet-\bullet\stackrel4-\bullet-\bullet-\bullet
{\tilde{G}}_2 V3 [6,3] 정육각형 쪽매맞춤, 정삼각형 쪽매맞춤 \bullet\stackrel6-\bullet-\bullet
{\tilde{I}}_1 W2 [∞] 직선의 단위 구간에 의한 쪽매맞춤 \bullet\stackrel\infty-\bullet

아핀 콕서터 군의 콕서터 도표는 다음과 같다.

Affine coxeter.svg

쌍곡선 콕서터 군[편집]

쌍곡선 콕서터 군(영어: hyperbolic Coxeter group)의 분류는 유한 콕서터 군이나 아핀 콕서터 군의 분류보다 더 복잡하다.

역사[편집]

해럴드 스콧 맥도널드 콕서터가 1930년대에 도입하였다.[5][6] 이후 자크 티츠니콜라 부르바키가 콕서터 군의 이론의 발전에 공헌하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Coxeter, H. S. M. (1948). 《Regular polytopes》 (영어). Methuen and Company. 
  2. Ihara, Shin-ichiro; Yokonuma, Takeo (1965년 3월 15일). “On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of finite reflection groups” (영어). 《Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Section 1: Mathematics, Astronomy, Physics, Chemistry》 11 (2): 155–171. ISSN 0368-2269. Zbl 0136.28802. 
  3. Yokonuma, Takeo (1965년 3월 15일). “On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of infinite discrete reflection groups” (영어). 《Journal of the Faculty of Science, University of Tokyo. Section 1: Mathematics, Astronomy, Physics, Chemistry》 11 (2): 173–186. ISSN 0368-2269. Zbl 0136.28803. 
  4. Howlett, Robert B. (1988). “On the Schur Multipliers of Coxeter Groups” (영어). 《Journal of the London Mathematical Society》. 2 38 (2): 263–276. doi:10.1112/jlms/s2-38.2.263. Zbl 0627.20019. 
  5. Coxeter, H. S. M. (1934년 7월). “Discrete groups generated by reflections” (영어). 《Annals of Mathematics》 35 (3): 588–621. doi:10.2307/1968753. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968753. 
  6. Coxeter, H. S. M. (1935). “The complete enumeration of finite groups of the form R_i^2=(R_iR_j)^{k_{ij}}=1” (영어). 《Journal of the London Mathematical Society》 10 (1): 21–25. doi:10.1112/jlms/s1-10.37.21. ISSN 0024-6107. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]