콕서터 군

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군론에서, 콕서터 군(Coxeter群, 영어: Coxeter group)은 일련의 반사들로 구성되는 이다. 단순 리 군바일 군은 유한 콕서터 군이며, 따라서 유한 콕서터 군은 단순 리 군과 유사하게 분류할 수 있다. 또한, 다각형이나 다면체의 반사 대칭군 또한 유한 콕서터 군이므로, 콕서터 군은 정다면체의 분류와도 관련있다.

정의[편집]

콕서터 군은 다음과 같이 표시(presentation)될 수 있는 이다.

G=\langle r_1,r_2,\dots,r_n|(r_ir_j)^{m_{ij}}=1\rangle

여기서 행렬 m_{ij}는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

  • m_{ij}=1
  • 2\le m_{ij}\le\infty (i\ne j). 여기서 m_{ij}=\infty인 경우는 (r_ir_j)^{m_{ij}}=1의 꼴의 관계를 아예 적용하지 않아야 한다는 뜻이다.

이 경우, 순서쌍 (G,\{r_1,r_2,\dots,r_n\})콕서터 계(영어: Coxeter system)라고 한다. 두 콕서터 군이 군으로서 동형이더라도, 서로 동형이 아닌 콕서터 계를 가질 수 있다. 예를 들어, 군으로서 BC_3\cong A_1\times A_3이지만, 이들은 서로 다른 콕서터 계를 가진다.

분류[편집]

유한 콕서터 군들은 모두 완전히 분류되었고, 다음 표와 같다. 두 유한 콕서터 군의 곱은 또다른 유한 콕서터 군이므로, 아래 표는 두 콕서터 군의 곱으로 나타낼 수 없는 콕서터 군들만을 나열하였다.

기호 다른 기호 콕서터 표기법 크기 관련 폴리토프
An An [3n-1] (n + 1)! n-simplex
BCn Cn [4,3n-2] 2n n! n-hypercube / n-cross-polytope
Dn Bn [3n-3,1,1] 2n−1 n! n-demihypercube
E6 E6 [32,2,1] 72×6! 221, 122
E7 E7 [33,2,1] 72×8! 321, 231, 132
E8 E8 [34,2,1] 192×10! 421, 241, 142
F4 F4 [3,4,3] 1152 24-cell
G2 - [6] 12 정육각형
H2 G2 [5] 10 정오각형
H3 G3 [3,5] 120 정이십면체 / 정십이면체
H4 G4 [3,3,5] 14400 120-cell / 600-cell
I2(p) D2p [p] 2p p각형


역사[편집]

해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다.

같이 보기[편집]