폴리토프

폴리토프(Polytope)는 다각형이나 다면체 등의 도형을 임의의 차원으로 확장한 것을 가리킨다. $n$차원에서 정의되는 폴리토프를 $n$-폴리토프로 부른다. 예를 들어, 다각형은 2-폴리토프, 다면체는 3-폴리토프이다.

정의

폴리토프를 정의하는 방법은 다양하며 이 정의의 차이에 따라 포함하는 도형의 범위도 달라진다. 어떠한 경우는 폴리토프의 정의에 테셀레이션과 같은 무한한 크기의 도형을 포함하기도 하며, 또한 자기 자신을 통과하는 도형을 포함하는 경우도 존재한다.

가장 일반적으로 사용하는 정의는 한 단계 아래의 폴리토프를 이용하는 것이다. 0-폴리토프는 점이며, 1-폴리토프는 직선에서 점으로 범위를 제한한 도형, 2-폴리토프는 평면에서 1-폴리토프로 범위를 제한한 도형 등으로 구성한다. 즉, $n$-폴리토프는 $n$차원 공간에서 $(n-1)$-폴리토프로 범위를 제한한 도형을 가리키게 된다.

폴리토프를 여러 단체(simplex)를 서로 연결한 도형들의 집합으로 정의하는 경우도 있다. 이때 두 단체의 교집합은 반드시 점, 선, 면 등이어야 한다. 하지만 이 정의는 자기 자신을 통과하는 도형을 허용하지 않는다.

볼록 폴리토프는 폴리토프가 볼록 집합을 이루는 경우로 정의한다. 이외에도 유한 개의 점에 대한 최소볼록집합으로 정의할 수 있지만, 이 경우 유계인 폴리토프만 고려한다는 가정을 포함한다.