기하학 에서 반사 (反射, 영어 : reflection ) 또는 대칭 이동 (對稱 移動)은 유클리드 공간 위의 점을 어떤 초평면 에 대한 ‘거울상’으로 변환시키는 함수 이다.
유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
부분 아핀 공간
Fix
(
R
)
⊂
R
n
{\displaystyle \operatorname {Fix} (R)\subset \mathbb {R} ^{n}}
반사
R
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle R\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
는 다음과 같다.
임의의
x
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}
R
(
x
)
{\displaystyle R(\mathbf {x} )}
Fix
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {Fix} (R)}
선분
(
x
,
R
(
x
)
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,R(\mathbf {x} ))}
수직 이등분 초평면 이 되게 만드는 유일한 점이다. 반사 초평면의 점
x
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
법벡터
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
R
(
x
)
=
x
−
2
(
(
x
−
x
0
)
⋅
n
)
n
{\displaystyle R(\mathbf {x} )=\mathbf {x} -2((\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
모든 반사는 유클리드 공간의 등거리 변환 이며, 방향 을 보존하지 않는다. 특히, 모든 반사는 아핀 변환 이며, 선형 변환 성분의 행렬식 은 −1이다. 원점을 지나는 반사 초평면을 갖는 반사는 선형 변환 이다. 모든 반사는 대합 이다. 즉, 스스로를 두 번 합성 하면 항등 함수 를 얻는다.
고정점 [ 편집 ] 반사의 고정점 의 집합은 반사 초평면이다.
연산에 대한 닫힘 [ 편집 ] 반사
R
{\displaystyle R}
등거리 변환
I
{\displaystyle I}
Fix
(
I
∘
R
∘
I
−
1
)
=
I
(
Fix
(
R
)
)
{\displaystyle \operatorname {Fix} (I\circ R\circ I^{-1})=I(\operatorname {Fix} (R))}
행렬 표현 [ 편집 ] 반사의 선형 변환 성분은 적절한 기저에 대하여 다음과 같은 행렬 표현을 갖는다.
(
1
⋱
1
−
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\&\ddots \\&&1\\&&&-1\end{pmatrix}}}
평면 위에서, 평행하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 평행 이동 을 얻는다. 평면 위에서, 교차하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 회전 을 얻는다. 평행하는 반사 초평면을 갖는 두 반사
R
{\displaystyle R}
R
′
{\displaystyle R'}
R
′
∘
R
{\displaystyle R'\circ R}
평행 이동 이며, (
R
{\displaystyle R}
R
′
{\displaystyle R'}
Fix
(
R
)
=
{
x
∈
R
n
:
(
x
−
x
0
)
⋅
n
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {Fix} (R)=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\colon (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\cdot \mathbf {n} =0\}}
Fix
(
R
′
)
=
{
x
∈
R
n
:
(
x
−
x
0
′
)
⋅
n
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {Fix} (R')=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\colon (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}')\cdot \mathbf {n} =0\}}
‖
n
‖
=
1
{\displaystyle \|\mathbf {n} \|=1}
이라면,
R
′
∘
R
{\displaystyle R'\circ R}
2
(
x
0
′
−
x
0
)
⋅
n
{\displaystyle 2(\mathbf {x} _{0}'-\mathbf {x} _{0})\cdot \mathbf {n} }
이다. 반대로, 모든 평행 이동은 이러한 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.
교차하는 반사 초평면을 갖는 두 반사
R
{\displaystyle R}
R
′
{\displaystyle R'}
R
′
∘
R
{\displaystyle R'\circ R}
회전 이다. 구체적으로, 이 회전은 두 반사 초평면의 교집합을 고정점 집합으로 가지며, 고정점 집합과 수직인 각 평면으로 제한되었을 때 두 반사 초평면 사이의 각의 2배만큼 (
R
{\displaystyle R}
R
′
{\displaystyle R'}
Fix
(
R
)
=
{
x
∈
R
n
:
(
x
−
x
0
)
⋅
n
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {Fix} (R)=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\colon (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\cdot \mathbf {n} =0\}}
Fix
(
R
′
)
=
{
x
∈
R
n
:
(
x
−
x
0
′
)
⋅
n
′
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {Fix} (R')=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\colon (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}')\cdot \mathbf {n} '=0\}}
‖
n
‖
=
‖
n
′
‖
=
1
{\displaystyle \|\mathbf {n} \|=\|\mathbf {n} '\|=1}
n
×
n
′
≠
0
{\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {n} '\neq 0}
이라면,
R
′
∘
R
{\displaystyle R'\circ R}
고정점 집합은
Fix
(
R
)
∩
Fix
(
R
′
)
{\displaystyle \operatorname {Fix} (R)\cap \operatorname {Fix} (R')}
이다. 또한, 평면
x
0
+
(
Fix
(
R
)
∩
Fix
(
R
′
)
)
⊥
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}+(\operatorname {Fix} (R)\cap \operatorname {Fix} (R'))^{\perp }}
x
0
∈
Fix
(
R
)
∩
Fix
(
R
′
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}\in \operatorname {Fix} (R)\cap \operatorname {Fix} (R')}
R
′
∘
R
↾
(
x
0
+
(
Fix
(
R
)
∩
Fix
(
R
′
)
)
⊥
)
{\displaystyle R'\circ R\upharpoonright (\mathbf {x} _{0}+(\operatorname {Fix} (R)\cap \operatorname {Fix} (R'))^{\perp })}
의 회전 중심은
x
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
2
arccos
(
n
⋅
n
′
)
{\displaystyle 2\arccos(\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} ')}
이다. 반대로, 3차원 이하 유클리드 공간 위의 회전은 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. 그러나 이는 4차원부터는 성립하지 않는다.
사원수 표현 [ 편집 ] 3차원 벡터를 순허수 사원수 로 여겼을 때,
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
x
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
Fix
(
R
)
⊂
R
3
{\displaystyle \operatorname {Fix} (R)\subset \mathbb {R} ^{3}}
R
(
x
)
=
x
0
+
n
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle R(\mathbf {x} )=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {n} (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})\mathbf {n} }
여기서 우변의 곱셈은 사원수 의 곱셈이다.
2차원 유클리드 공간
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
(
x
y
)
↦
(
1
0
0
−
1
)
(
x
y
)
=
(
x
−
y
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}}}
(
x
y
)
↦
(
−
1
0
0
1
)
(
x
y
)
=
(
−
x
y
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-x\\y\end{pmatrix}}}
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