정다각형

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정다각형(正多角形)은 모든 각의 크기가 같으며 모든 변의 길이도 같은 단순한(자기 자신과 교차하지 않는) 다각형이다. 변의 개수가 같은 정다각형 끼리는 모두 닮았다.

정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형, 정팔각형, 정구각형, 정십각형, 정십일각형, 정십이각형, 정십삼각형, 정십사각형, 정십오각형, 정십육각형, 정십칠각형, 정십팔각형, 정십구각형, 정이십각형 등 정다각형의 종류는 무수히 많다.

성질[편집]

n각형의 한 내각의 크기는 180^\circ \cdot \left(1-\frac 2 n \right) = \frac {180^\circ \cdot (n-2)} n이다. 호도법으로는 \pi \left( 1-\frac 2 n \right) 라디안이며, 이것은 \frac {n-2} {2n} 바퀴를 도는 각이다.

정다각형의 꼭짓점은 모두 한 원위에 있다. 다시 말해 정다각형은 모두 원에 내접하는 다각형이다.

n각형은 n홀수인수들이 모두 서로 다른 페르마 소수일 때, 그 때에만 자와 컴퍼스로 작도할 수 있다.

n이 3 이상의 정수일 때, 정n각형의 대각선의 수는 \frac{n(n-3)}{2} 이다. 다시 말해 정삼각형부터 차례로 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54, 65, 77, 90, 104, 119, 135, 152, 170, 189, 209, 230, 252, 275, ... 개의 대각선을 갖는다. 이들 대각선에 의해 각 정다각형은 1, 4, 11, 24, ... 개의 영역으로 나뉜다.

넓이[편집]

n각형의 넓이는

A=\frac{nt^2}{4\tan \frac \pi n}

이다. 여기서 t 는 한 변의 길이이다. 이 식은 정다각형의 넓이는 둘레의 반과 변심거리(중심으로부터 한 변에 내린 수선의 길이)의 곱과 같다는 것을 말해 준다.

t=1 일 때 위 식은

A={\frac{n}{4}} \cot \frac \pi n

와 같이 간단히 할 수 있으며 이것을 가지고 각각의 정다각형의 넓이를 구해 보면 다음과 같다.

정육각형의 변심거리
n 참값 근삿값
3   \frac{\sqrt{3}}{4} 0.433
4   1 1.000
5   \frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} 1.720
6   \frac{3 \sqrt{3}}{2} 2.598
7    3.634
8   2 + 2 \sqrt{2} 4.828
9    6.182
10   \frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} 7.694
11    9.366
12   6+3\sqrt{3} 11.196
13    13.186
14    15.335
15    17.642
16    20.109
17    22.735
18    25.521
19    28.465
20    31.569
100    795.513
1000    79577.210
10000    7957746.893

이 넓이들은 각각 둘레의 길이가 같은 원의 넓이에 비해 약 0.26 만큼씩 작다. n < 8 인 경우 그 차이는 약간 더 크고, 그 차이는 n 이 커짐에 따라 줄어들며, 극한값은 π/12 이다.

대칭성[편집]

n각형의 대칭변환군 은 위수(order) 2n정이면체군 D_n (D_2, D_3, D_4, D_5, D_6, D_7, D_8, D_9\cdots) 이다. D_nC_n 의 회전이동과 n 개의 축에 대한 선대칭이동으로 이루어진다. 다시 말해 정n각형은 위수 n 인 회전 대칭성이 있으며, n 개의 축에 대해 선대칭이다. n 이 짝수이면 대칭축 중에서 반은 마주보는 두 꼭짓점을 지나는 직선이고 나머지 반은 마주보는 변들의 중점을 지나는 직선이다. n 이 홀수일 때는 대칭축은 모두 한 꼭짓점과 그것과 마주보는 변의 중점을 지나는 직선이다.

볼록하지 않은 정다각형[편집]

정다각형의 개념을 확장하여 별 다각형를 포함하도록 하기도 한다. 별 다각형은 사실 볼록하지 않을 뿐 아니라 단순하지 않은 것이므로 이것을 "오목하다"고 말할 수는 없다(단순하면서 볼록하지 않은 다각형을 오목한 다각형이라고 하기 때문에). 별 다각형의 대표적인 예인 오각별은 정오각형의 꼭짓점들을 (바로 이웃한 것과 연결하는 것이 아니라) 하나씩 걸러 변으로 연결함으로써 만들어진다.

다면체[편집]

모든 면이 정다각형이고, 어떤 두 꼭짓점을 잡더라도 그 중 하나를 다른 하나로 보내는 그 자신 위의 합동변환이 존재하는 다면체[1]고른 다면체라 한다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 다면체는 평면이 여럿으로 구성된 삼차원 입체이다. 다면체가 모든 면이 정다각형일 이유가 없다. 수학을 공부했다는 이유만으로 우리 말을 바꾸어서는 안 된다. 준정다면체라고 쓰는 말도 있다.

바깥 고리[편집]