정이면체군

눈 결정은 대표적인 정육각형의 정이면체 대칭이다.

수학에서 정이면체군(正二面體群, 영어: dihedral group)이란 정다각형에 대한 대칭군이며 회전, 반사 모두 포함된다. 정이면체군은 유한군의 간단한 예 중 하나라 할 수 있으며, 기하학, 대수학, 군론에서 중요한 위치에 있다.

표기법

정이면체군에서 두 개의 표기법이 경쟁하고 있다. 기하학에서 이 군은 D_n를 나타낸다, 대수학에서는 같은 군이 D_2n를 나타냄으로써 다른 원소를 나타낸다.

이 문서에서는, D_n (Dih_n)을 통해 공간에서의 n 공간에서의 다각형 대칭을 설명하도록 하겠다.

원소

8개의 정육각형회전 대칭

n공간에서의 다각형은 두 개의n 다른 대칭을 갖고 있다: n의 회전 대칭, n의 반사 대칭. 합동의 회전과 반사는 정이면체군 D_n으로 조정하면 다음 그림에서 8개의 D₈ 원소가 보이는 효과가 나온다:

첫 번째 열은 8개의 회전 효과를 보여주고 있다,그리고 두 번째 열은 8개의 반사 효과를 보여주고 있다.

구조

기하 개체로는, 대칭인 두 정다각형의 합성의 재대칭이다. 이 움직임이 다각형의 대칭이 유한군의 대수적 구조임을 알려준다.

두 반사의 합성이 회전하고 있다.

다음 클라인 표 D₃군의 합성 효과를 보여준다. (정삼각형의 대칭). R₀ 는 동일함을 나타낸다; R₁과 R₂는 시계 방향으로 120와 240 각도로 회전하고 있음 나타낸다; and S₀, S₁, S₂는 왼쪽 그림에서 세 선을 반사하고 있음을 나타낸다.

	R0	R1	R2	S0	S1	S2
R0	R0	R1	R2	S0	S1	S2
R1	R1	R2	R0	S1	S2	S0
R2	R2	R0	R1	S2	S0	S1
S0	S0	S2	S1	R0	R2	R1
S1	S1	S0	S2	R1	R0	R2
S2	S2	S1	S0	R2	R1	R0

같이 보기

• 군
• 군론
• 대칭군