정이면체군

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결정의 대칭군은 정이면체군 \operatorname{Dih}_6이다.
\operatorname{Dih}_8은 정팔각형의 대칭군이다.

군론에서, 정이면체군(正二面體群, 영어: dihedral group)은 정다각형대칭군유한군이다.

정의[편집]

H아벨 군이라고 하자. 일반화 정이면체군(영어: generalized dihedral group) \operatorname{Dih}(H)는 다음과 같은 반직접곱이다.

\operatorname{Dih}(H)\cong H\rtimes_\phi(\mathbb Z/2)

여기서 \mathbb Z/2=\{0,1\}는 크기가 2인 유일한 이며, 군의 작용 \phi\colon\mathbb Z/2\times H\to H는 다음과 같다.

\phi_0\colon h\mapsto h
\phi_1\colon h\mapsto -h

정이면체군

\operatorname{Dih}_n=\operatorname{Dih}(\mathbb Z/n)

순환군 \mathbb Z/n에 대한 일반화 정이면체군이다. 무한 정이면체군(영어: infinite dihedral group)

\operatorname{Dih}_\infty=\operatorname{Dih}(\mathbb Z)

은 무한 순환군 \mathbb Z에 대한 일반화 정이면체군이다.

표시[편집]

정이면체군 \operatorname{Dih}_n은 다음과 같은 표시를 갖는다.

\operatorname{Dih}_n\cong\langle r,s|r^n=s^2=(rs)^2=1\rangle

정이면체군 \operatorname{Dih}_n은 간혹 D_n이나 D_{2n}으로 쓰기도 한다.

무한 정이면체군 \operatorname{Dih}_\infty은 다음과 같은 표시를 갖는다.

\operatorname{Dih}_n\cong\langle r,s|s^2=(rs)^2=1\rangle

성질[편집]

일반화 정이면체군[편집]

일반적으로, 일반화 정이면체군 \operatorname{Dih}(H)의 크기는 H의 크기의 두 배이다.

일반화 정이면체군 \operatorname{Dih}(H)=H\rtimes(\mathbb Z/2)의 원소들은 모두 (h,0) 또는 (h,1)의 꼴이다 (h\in H). 이 경우, (h,0) 꼴의 원소들의 집합은 H와 동형인 \operatorname{Dih}(H)지표가 2인 정규부분군을 이루며, (h,1) 꼴의 원소들은 모두 위수가 2이다. 즉, (h,1)\cdot(h,1)=(0,0)이다.

\operatorname{Dih}(H)켤레류들은 다음과 같은 꼴이다. 모든 h\in H에 대하여,

  • \{(h,0),(-h,0)\}
  • \{(h+2k,0)|k\in H\}

유한 정이면체군[편집]

평면에서, n각형대칭군\operatorname{Dih}_n이다. 여기서, 군의 표시에서 r는 (반시계방향으로) 2\pi/n 라디안 회전 대칭에, s는 고정된 축에 대한 반사 대칭에 대응된다.

정이면체군 \operatorname{Dih}_n은 총 2n개의 원소를 가진다. 이들은 위의 표시에 따라서 다음과 같다.

1,r,r^2,\dots,r^{n-1},s,sr,sr^2,\dots,sr^{n-1}

작은 정이면체군들은 다음과 같다.

다른 이름
\operatorname{Dih}_0 자명군 0
\operatorname{Dih}_1 2차 순환군 \mathbb Z/2
\operatorname{Dih}_2 클라인 4원군 \mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/2
\operatorname{Dih}_3 대칭군 \operatorname{Sym}_3
\operatorname{Dih}_6 \operatorname{Dih}_3\times(\mathbb Z/2)

n\ge3인 경우, \operatorname{Dih}_n아벨 군이 아니다.

무한 정이면체군[편집]

무한 정이면체군 \operatorname{Dih}_\infty는 정수의 집합 \mathbb Z대칭군이다.

무한 정이면체군 \operatorname{Dih}_\infty는 다음과 같은 자유곱으로 나타낼 수 있다.

\operatorname{Dih}_\infty=(\mathbb Z/2)*(\mathbb Z/2)

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]