카르탕 부분대수

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리 대수 이론에서, 카르탕 부분대수(Cartan subalgebra)는 리 대수의 최대 가환 부분대수의 일종이다. 엘리 카르탕이 박사 학위 논문에서 정의하였다.[1]

정의[편집]

\mathfrak g리 대수라고 하자. \mathfrak g카르탕 부분대수는 다음 성질을 만족하는 리 부분대수 \mathfrak h\subset\mathfrak g이다.

  • 만약 X\in\mathfrak g이고, [X,\mathfrak h]\subset\mathfrak h라면 X\in\mathfrak h이다.
  • \underbrace{[\mathfrak g,[\mathfrak g,[\dotsb,[\mathfrak g,\mathfrak g}_n]\dotsb]]]=0인 정수 n이 존재한다.

성질[편집]

리 대수표수 0이고, 대수적으로 닫혀 있다면, 적어도 하나의 카르탕 부분대수가 존재하며, 또한 모든 카르탕 부분대수들은 리 대수자기동형사상에 의하여 서로 동형이다. 따라서 이 경우 카르탕 부분대수는 사실상 유일하다.

참고 문헌[편집]

  1. Élie Cartan, Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Thèse, Paris, 1894; 2d ed., Paris, Vuibert, 1933.