군 표현론

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추상대수학에서, 군 표현론(群表現論, 영어: group representation theory)은 벡터공간선형변환으로 표현해 그 성질을 알아보려 하는 수학의 분야이다. 군 표현론을 이용하면 군론의 문제를 선형대수학적 기법으로 다룰 수 있다.

정의[편집]

G K 상의 벡터공간 V 에 대한 표현G 에서 일반선형군 GL(V) 로의 군 준동형사상을 말한다. 즉, 표현이란 다음의 사상

D \colon G \to \mathop{GL}(V)

로서 G 의 임의의 원소 g1g2 에 대하여 아래의 두 조건을 만족하는 것을 말한다.

  1.  D(e) = 1
  2.  D(g_1 g_2) = D (g_1) D (g_2)

여기서, eG 의 항등원, 1 은 GL(V) 의 항등원이다. 즉, 항등원은 항등원으로 대응되고, 군의 구조가 보존이 되는 것을 요구한다.

만약 표현이 일대일함수, 즉, 단사함수라면, 충실한 표현(영어: faithful representation)이라고 한다.

표현으로 얻어지는 연산자들이 작용하는 벡터공간 V표현공간(영어: representation space)이라 하고, V차원을 이 표현의 차원(dimension) 이라고 한다. 언어의 남용으로서, G 에서 GL(V) 로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 VG 의 표현이라 부르기도 한다.

V 가 유한한 차원 n 일 때에는 n차수(degree)라 부르기도 한다. 이 때에는, V기저를 하나 선택하여 GL(V) 를 K 상의 n×n 가역행렬들의 군 GL(n, K) 와 동일시하는 것이 일반적이다.

G위상군이고 V위상벡터공간일 경우, GV 에 대한 표현 D연속 표현(영어: continuous representation)이라는 것은

\begin{array}{lll}
\Phi: & G\times V & \to V
     \\ & (g,v)     & \mapsto D(g)v 
\end{array}

로 정의된 함수 Φ 가 연속인 경우를 말한다.

동등한 표현[편집]

두 표현 D1 : G → GL(V1) 와 D2 : G → GL(V2) 가 동등하다는 것은 벡터공간 V1V2 사이에 동형사상 A : V1V2 가 있어, G 의 모든 원소 g 에 대해

D_2 (g) A = A D_1 (g) \;

를 만족하는 것을 말한다. 만약 두 표현의 표현공간이 같은 경우, 위는 간단히

D_2 (g) = A D_1 (g) A^{-1} \;

로 쓸 수 있다. 여기서 연산자 A엮음 연산자(영어: intertwining operator)라 하기도 한다.

불변부분공간과 기약표현[편집]

벡터공간 V 의 부분공간 W 가 군 G작용에 대해 불변(영어: invariant)이라는 것은 부분공간 상의 임의의 벡터에 어떠한 D(g) 를 작용시켜도 벡터가 부분공간 상에 남아있는 부분공간을 말한다. 즉, G 의 모든 원소 g 에 대해

 D(g) W \subseteq W

이 성립하면 W불변부분공간(invariant subspace)이라 한다.

약분가능표현(영어: reducible representation)은 불변부분공간이 존재하는 표현이다. 약분가능표현이 아닌 표현은 기약표현(irreducible representation)이라고 한다.

응용[편집]

군 표현론은 물리학에서 물리적 계의 대칭군과 그 계를 기술하는 방정식의 해의 관계를 탐구하면서 널리 응용된다. 특히, 양자역학에서, 상태공간인 힐베르트 공간은 계의 대칭군의 표현을 이룬다.

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]