기하학적 양자화

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양자역학에서, 기하학적 양자화(幾何學的量子化, 영어: geometric quantization)는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 양자화하는 체계적인 방법이다.

정의[편집]

대부분의 고전적 계는 해밀턴 역학으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

고전적 관측가능량들은 M 위의 함수로 나타내어진다.

기하학적 양자화는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 힐베르트 공간을 정의한다. 이는 다음과 같다.

  1. 준양자화(영어: prequantization)
  2. 양자화
  3. 메타플렉틱 보정(영어: metaplectic correction

준양자화[편집]

심플렉틱 형식 \omega가 다음과 같은 준양자화 조건(準量子化條件, 영어: prequantization condition)을 만족시킨다고 하자.

[\omega/2\pi]\in H^2(M;\mathbb Z)

즉, \omega/2\pi코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 원소를 정의한다고 하자. (일반적으로, 드람 코호몰로지는 물론 실수 계수이다.) 이 경우, M 위에 다음 조건을 만족시키는 복소 선다발 L\twoheadrightarrow M이 존재한다.

  • c_1(L)=[\omega/2\pi]

여기서 c_1은 1차 천 류이다. 또한, 이 선다발에 접속(connection) \nabla를 정의하여, 그 곡률 F_\nabla이 다음을 만족시키게 할 수 있다.

  • F_\nabla=i\omega

준양자 구조(準量子構造, 영어: prequantum structure)는 이와 같은 구조 (L,A)이다. 만약 심플렉틱 다양체 (M,\omega)가 준양자화 조건을 만족시킨다면, (선다발 동형사상에 대하여) 유일한 준양자 구조가 존재한다.

준양자 구조 \mathcal L

\mathcal L\to\mathcal L^{\otimes n}으로 대체시키는 것은
\omegan\omega로 대체시키는 것과 같다. 일반화 위치 q^i를 고정시킨다면 일반화 운동량
p_i=q_j\omega_{ij}

이므로, 이는

p_i\mapsto np_i

와 같다. 라그랑주 역학이 성립한다면, 작용 S는 일반화 운동량에 비례하므로, 이는

S/\hbar\mapsto nS/\hbar=S/(\hbar/n)

이다. 양자역학경로 적분S/\hbar에만 의존하므로, 이는 플랑크 상수의 재정의

\hbar\mapsto\hbar/n

으로 생각할 수 있다. 따라서, n\to\infty 극한은 \hbar\to0, 즉 반고전적(영어: semiclassical) 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다.

양자화[편집]

다양체 (M) 위의 극성화(極性化, 영어: polarization)는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 접다발의 복소화 TM^{\mathbb C}의 부분다발 \mathcal P\subset TM^{\mathbb C}이다.

  • (적분가능성) 모든 u,v\in\mathcal P에 대하여, [u,v]\in\mathcal P이다. 여기서 [\cdot,\cdot]리 미분이다.
  • (극대성) \mathcal P보다 더 큰 차원의 적분가능 분포는 존재하지 않는다. (즉, M이 유한 차원이라면, \mathcal P의 차원은 \dim_{\mathbb R}\mathcal P=\dim M이다.)

극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체 (M,\mathcal L,\nabla,\mathcal P)에 대하여, \mathcal H'\mathcal L의 제곱적분가능(square-integrable) 단면들의 공간으로 정의한다.

  • \mathcal H'=L^2(\mathcal L)

\mathcal H\mathcal H'의 원소들 가운데, \mathcal P의 방향으로 일정한 단면들이다.

\mathcal H=\{s\in\mathcal H'\colon\nabla_{\mathcal P}s=0\}

이는 내적을 통해 힐베르트 공간을 이룬다. 이 공간의 사영화(영어: projectivization)가 양자역학의 상태 공간이다.

메타플렉틱 보정[편집]

양자화는 힐베르트 공간뿐만 아니라, 해밀토니언을 비롯한 고전적 관측가능량 f\colon M\to\mathbb R\mathcal H 위의 에르미트 연산자로 대응시켜야 한다. 그러나 모든 고전적 관측가능량을 이렇게 양자화시킬 수는 없다. 일부 관측가능량(위치 및 운동량 등)은 메타플렉틱 보정을 통해 체계적으로 양자화할 수 있다.

[편집]

기하학적 양자화는 크게 두 가지 예가 있다.

여접다발[편집]

여접다발의 경우, 심플렉틱 형식 \omega=dp_i\wedge dq^i에 대한 심플렉틱 퍼텐셜

\theta=p_i\wedge dq^i

이 대역적(global)으로 존재한다. 즉, \omega=d\theta완전형식이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 즉, 복소 선다발

\mathcal L\cong M\times\mathbb C

은 자명하고, 그 위에 \theta를 성분으로 가지는 접속을 정의할 수 있다.

이 경우, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다.

\mathcal P=TN^{\mathbb C}\subset TM^{\mathbb C}

따라서 힐베르트 공간은 N 위의 제곱적분가능 함수의 힐베르트 공간

\mathcal H=L^2(N)

과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은

\hat x^i\colon f\mapsto x_if
\hat p_i\colon f\mapsto-i\partial_if

으로 대응된다.

켈러 다양체[편집]

그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의 2\pi배)인 켈러 다양체 M을 생각하자. 이 경우, \omega/2\pi에 대응하는 해석적 선다발 L\twoheadrightarrow M이 존재하며, 그 위에 곡률이 i\omega인 접속을 정의할 수 있다.

켈러 다양체의 복소 구조를 사용하여, 복소화 접다발 TM^{\mathbb C}를 다음과 같이 분해할 수 있다.

TM^{\mathbb C}=TM^+\oplus TM^-

여기서 TM^+는 정칙 벡터장들의 다발이고, TM^-는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를

\mathcal P=TM^-

로 잡을 수 있다. 이에 따라서,

\mathcal H=H^0(M,L)

L의 (제곱적분가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은

\hat z^i\colon f\mapsto z^if
-i\partial_i\colon f\mapsto-i\partial_if

에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계를 만족시킨다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]