시간 변화

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물리학에서, 시간 변화(時間變化, time evolution)는 시간의 흐름에 따라 의 상태가 바뀌는 과정이다.

양자역학에서의 시간 변화[편집]

양자역학슈뢰딩거 묘사에서, 시간 변화는 초기 시간 t_0의 상태 |\psi\rangle(t_0)\in\mathcal H를 나중 시간 t의 상태 |\psi\rangle(t)\in\mathcal H로 바꾸어 주는 연산자 U(t,t_0)\colon\mathcal H\to\mathcal H로 나타낼 수 있다. 이를 시간 변화 연산자(時間變化演算子, time evolution operator)라 한다.

\begin{align}
U(t,t_0)\colon&&\mathcal H&\to\mathcal H\\
&&|\psi\rangle(t_0)&\mapsto|\psi\rangle(t).
\end{align}

성질[편집]

상태가 관측될 확률이 보존되므로, 시간 변화 연산자는 유니터리 연산자이다. 상태가 관측될 확률이 보존된다는 것은

\langle \psi(t_0)|\psi(t_0)\rangle = \langle\psi(t)|\psi(t)\rangle

인 것을 말한다. 각 상태는 정규화 되어 있으므로 양변이 모두 1이 된다. 이로부터

U^\dagger(t,t_0)U(t,t_0) = 1

을 얻을 수 있고, 즉, 시간변화 연산자는 유니터리이다.

또한, 시간 변화 연산자는 다음과 같이 의 성질을 지닌다.

  • U(t_2,t_1)U(t_1,t_0)=U(t_2,t_0)
  • U(t_0,t_0)=1
  • U(t,t_0)=U(t_0,t)^{-1}.

만약 해밀토니언 H가 시간에 의존하지 않는다면, 시간 변화 연산자는 다음을 만족한다.

U(t,t_0)=U(t+\Delta t,t_0+\Delta t)=U(t-t_0).

또한 이럴 경우 슈뢰딩거 방정식을 적분하여 시간 변화 연산자를 직접 다음과 같이 쓸 수 있다.

U(t)=\exp(-itH_0/\hbar).

반대로, 시간 변화 연산자를 미분하여 해밀토니언을 얻을 수 있다.

H_0=i\hbar\frac{dU(t)}{dt}.

만약 해밀토니언이 시간에 의존한다면, 시간 변화 연산자는 다이슨 전개(Dyson series)를 통해 나타낼 수 있다.